"Seno" es una abreviatura matemática para la razón de dos lados de un triángulo rectángulo, expresada como una fracción: el lado opuesto al ángulo que esté midiendo es el numerador de la fracción y la hipotenusa del triángulo rectángulo es el denominador. Una vez que domine este concepto, se convierte en un bloque de construcción para una fórmula conocida como la ley de los senos, que se puede usar para encontrar ángulos y lados faltantes para un triángulo siempre que conozca al menos dos de sus ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo.
Recapitulando la ley de los senos
La ley de los senos te dice que la razón de un ángulo en un triángulo al lado opuesto será el mismo para los tres ángulos de un triángulo . O, para decirlo de otra manera:
sin (A) / a
\u003d sin (B) / b
\u003d sin (C) / c,
donde A, B y C son los ángulos del triángulo, y a, b
y c
son las longitudes de los lados opuestos a esos ángulos.
Este formulario es el más útil para encontrar ángulos faltantes. Si está utilizando la ley de los senos para encontrar la longitud faltante de un lado del triángulo, también puede escribirlo con los senos en el denominador:
a
/sin (A ) \u003d b
/sin (B) \u003d c
/sin (C)
Encontrar un ángulo perdido con la ley de los senos
Imagina que tienes un triángulo con un ángulo conocido; digamos que el ángulo A mide 30 grados. También conoce la medida de dos lados del triángulo: lado a
, que es el ángulo opuesto A, mide 4 unidades, y el lado b
mide 6 unidades.
Ingrese toda la información conocida en la primera forma de la ley de los senos, que es la mejor para encontrar ángulos faltantes:
sin (30) /4 \u003d sin (B) /6 \u003d sin (C) / c
A continuación, elija un objetivo; en este caso, encuentre la medida del ángulo B.
Configurar el problema es tan simple como configurar la primera y segunda expresiones de esta ecuación igual a cada una otro. No hay que preocuparse por el tercer término en este momento. Entonces, tiene:
sin (30) /4 \u003d sin (B) /6
Use una calculadora o un gráfico para encontrar el seno del ángulo conocido. En este caso, sin (30) \u003d 0.5, entonces tiene:
(0.5) /4 \u003d sin (B) /6, que se simplifica a:
0.125 \u003d sin (B) /6
Multiplicar cada lado de la ecuación por 6 para aislar la medida del seno del ángulo desconocido. Esto le proporciona:
0.75 \u003d sin (B)
Encuentre el seno inverso o el arco de ángulo desconocido, usando su calculadora o una mesa En este caso, el seno inverso de 0.75 es aproximadamente 48.6 grados.
Advertencias
Tenga cuidado con el caso ambiguo de la ley de los senos, que puede surgir si es así, como en este problema, dada la longitud de dos lados y un ángulo que no está entre ellos. El caso ambiguo es simplemente una advertencia de que en este conjunto específico de circunstancias, podría haber dos posibles respuestas para elegir. Ya has encontrado una posible respuesta. Para analizar otra posible respuesta, reste el ángulo que acaba de encontrar de 180 grados. Agregue el resultado al primer ángulo conocido que tenía. Si el resultado es inferior a 180 grados, ese "resultado" que acaba de agregar al primer ángulo conocido es una segunda solución posible.
Encontrar un lado con la ley de los senos
Imagine que tiene un triángulo con ángulos conocidos de 15 y 30 grados (llamémoslos A y B respectivamente), y la longitud del lado a
, que es el ángulo opuesto A, es de 3 unidades de largo .
Como se mencionó anteriormente, los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180 grados. Entonces, si ya conoce dos ángulos, puede encontrar la medida del tercer ángulo restando los ángulos conocidos de 180:
180 - 15 - 30 \u003d 135 grados
Entonces, el ángulo faltante es 135 grados.
Complete la información que ya conoce en la fórmula de la ley de los senos, utilizando el segundo formulario (que es más fácil al calcular un lado faltante):
3 /sin (15) \u003d b
/sin (30) \u003d c
/sin (135)
Elija de qué lado faltante desea encontrar la longitud. En este caso, por conveniencia, encuentre la longitud del lado b.
Para configurar el problema, usted ' Elegiré dos de las relaciones sinusoidales dadas en la ley de los senos: la que contiene su objetivo (lado b
) y la que ya conoce toda la información (ese lado a
y ángulo A). Establezca esas dos relaciones seno iguales entre sí:
3 /sin (15) \u003d b
/sin (30)
Ahora resuelve b
. Comience usando su calculadora o una tabla para encontrar los valores de sin (15) y sin (30) y complételos en su ecuación (por el bien de este ejemplo, use la fracción 1/2 en lugar de 0.5), que le da :
3 /0.2588 \u003d b
/(1/2)
Tenga en cuenta que su maestro le dirá qué tan lejos (y si) redondea sus valores sinusoidales. También podrían pedirle que use el valor exacto de la función seno, que en el caso de sin (15) es muy desordenada (√6 - √2) /4.
A continuación, simplifique ambos lados de la ecuación, recordando que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inverso:
11.5920 \u003d 2_b_
Cambia los lados de la ecuación por conveniencia, ya que las variables generalmente se enumeran a la izquierda:
2_b_ \u003d 11.5920
Y finalmente, termine de resolver para b.
En este caso, todo lo que tiene que hacer es dividir ambos lados de la ecuación por 2, que le da:
b
\u003d 5.7960
Entonces, el lado faltante de su triángulo tiene 5.7960 unidades de largo. Puede usar el mismo procedimiento para resolver el lado c
, estableciendo su término en la ley de senos igual al término para el lado a
, ya que ya sabe que ese lado está lleno información.
