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    Fútbol con Frobenius: el problema matemático del Super Bowl

    Con el Super Bowl a la vuelta de la esquina, los atletas y fanáticos del mundo tienen su enfoque fijo en el gran juego. Pero para _math_letes, el gran juego puede traer a la mente un pequeño problema relacionado con los posibles puntajes en un juego de fútbol. Con solo opciones limitadas para la cantidad de puntos que puede anotar, algunos totales simplemente no se pueden alcanzar, pero ¿cuál es el más alto? Si quieres saber qué une las monedas, el fútbol y las nuggets de pollo de McDonald's, este es un problema para ti. Los Patriotas de Inglaterra posiblemente podrían lograr el domingo sin una seguridad o una conversión de dos puntos. En otras palabras, las formas permitidas para aumentar sus puntajes son goles de campo de 3 puntos y touchdowns de 7 puntos. Entonces, sin seguridad, no puedes lograr una puntuación de 2 puntos en un juego con cualquier combinación de 3s y 7s. Del mismo modo, tampoco puede obtener un puntaje de 4, ni puede obtener 5.

    La pregunta es: ¿Cuál es el puntaje más alto que no puede lograrse con solo 3 puntos? ¿objetivos de campo y touchdowns de 7 puntos?

    Por supuesto, los touchdowns sin conversión valen 6, pero de todos modos puedes llegar a eso con dos goles de campo, no importa el problema. Además, dado que estamos lidiando con las matemáticas aquí, no tienes que preocuparte por las tácticas específicas del equipo o incluso por los límites en su habilidad para sumar puntos. br> Encontrar una solución (la manera lenta)

    Este problema tiene algunas soluciones matemáticas complejas (ver Recursos para más detalles, pero el resultado principal se presentará a continuación), pero es un buen ejemplo de cómo esto no está t necesitaba
    para encontrar la respuesta.

    Todo lo que tiene que hacer para encontrar una solución de fuerza bruta es simplemente probar cada una de las puntuaciones por turno. Entonces, sabemos que no puede anotar 1 o 2, porque son menos de 3. Ya establecimos que 4 y 5 no son posibles, pero 6 sí, con dos goles de campo. Después de 7 (que es posible), ¿puedes anotar 8? No Tres goles de campo dan 9, y un gol de campo y un touchdown convertido son 10. Pero no puede obtener 11.

    A partir de este momento, un poco de trabajo muestra que:
    \\ begin {alineado} 3 × 4 &\u003d 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &\u003d 13 \\\\ 7 × 2 &\u003d 14 \\\\ 3 × 5 &\u003d 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &\u003d 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &\u003d 17 \\ end {alineado}

    Y, de hecho, puedes seguir así todo el tiempo que quieras. La respuesta parece ser 11. ¿Pero es así?
    La solución algebraica

    Los matemáticos llaman a estos problemas "problemas de monedas de Frobenius". La forma original relacionada con las monedas, como: Si solo tuviera monedas valoradas 4 centavos y 11 centavos (no monedas reales, pero de nuevo, eso son problemas matemáticos para usted), cuál es la mayor cantidad de dinero que no pudo producir.

    La solución, en términos de álgebra, es que con uno puntaje que vale p
    puntos y un puntaje que vale q
    puntos, el puntaje más alto que no puede obtener ( N
    ) viene dado por:
    N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

    Entonces, al conectar los valores del problema del Super Bowl se obtiene:
    \\ begin {alineado} N &\u003d 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &\u003d 21 \\; - \\; 10 \\\\ &\u003d 11 \\ end {alineado}

    Cuál es la respuesta que obtuvimos de manera lenta. Entonces, ¿qué pasaría si solo pudiera anotar touchdowns sin conversión (6 puntos) y touchdowns con conversiones de un punto (7 puntos)? Vea si puede usar la fórmula para resolverla antes de seguir leyendo.

    En este caso, la fórmula se convierte en:
    \\ begin {alineado} N &\u003d 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &\u003d 42 \\; - \\; 13 \\\\ &\u003d 29 \\ end {alineado} El problema de Chicken McNugget

    Entonces el juego terminó y quieres recompensar al equipo ganador con un viaje a McDonald's. Pero solo venden McNuggets en cajas de 9 o 20. Entonces, ¿cuál es la mayor cantidad de pepitas que no puedes comprar con estos números de caja (obsoletos)? Intente usar la fórmula para encontrar la respuesta antes de seguir leyendo.

    Desde
    N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

    Y con p
    \u003d 9 y q
    \u003d 20:
    \\ begin {alineado} N &\u003d 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &\u003d 180 \\; - \\; 29 \\\\ &\u003d 151 \\ end {alineado}

    Entonces, siempre que comprara más de 151 pepitas, el equipo ganador probablemente tendrá bastante hambre, después de todo, podría comprar cualquier cantidad de pepitas que quisiera con alguna combinación de cajas.

    Quizás se pregunte por qué solo hemos cubierto versiones de dos números de este problema. ¿Qué sucede si incorporamos dispositivos de seguridad o si McDonalds vendió tres tamaños de cajas de pepitas? no hay una fórmula clara
    en este caso, y aunque la mayoría de las versiones se pueden resolver, algunos aspectos de la pregunta están completamente sin resolver.

    Entonces, tal vez cuando estás viendo el juego o comiendo pedazos de pollo del tamaño de un bocado, puede decir que está tratando de resolver un problema abierto en matemáticas: ¡vale la pena intentar salir de las tareas!

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