Comprender los conceptos
* Fuerza magnética en una partícula cargada: Una partícula cargada que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza perpendicular tanto a su velocidad como a la dirección del campo magnético. Esta fuerza hace que la partícula se mueva en un camino circular.
* Fuerza centripetal: Para moverse en un círculo, la partícula requiere una fuerza centrípeta. En este caso, la fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta.
* Energía cinética: La energía cinética de una partícula está relacionada con su masa y velocidad:ke =(1/2) MV².
Derivación
1. Fuerza magnética: La fuerza magnética en una partícula cargada viene dada por:
F =QVB (donde Q es la carga, V es la velocidad y B es la resistencia del campo magnético)
2. Fuerza centripetal: La fuerza centrípeta requerida para el movimiento circular es:
F =mv²/r (donde m es la masa y r es el radio de la ruta circular)
3. Fuerzas de equitación: Dado que la fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta:
qvb =mv²/r
4. Resolución de radio: Reorganizando la ecuación, obtenemos:
R =MV / (QB)
5. Energía cinética: Sabemos que la energía cinética de ambas partículas es la misma:
(1/2) MV² =(1/2) Me²
Por lo tanto, v² =(2ke / m)
6. Relación de radios: Deje que el radio de la ruta del protón sea RP y el radio de la ruta del electrón. Usando la ecuación para radio, obtenemos:
rp / re =(mp * vp) / (qe * b) / (me * ve) / (qe * b)
Simplificando y sustituyendo v² =(2ke / m):
rp / re =(mp * √ (2ke / mp)) / (me * √ (2ke / me)))
rp / re =√ (mp / me)
Conclusión
La relación de los radios de las rutas circulares de un protón y un electrón con la misma energía cinética en un campo magnético constante es igual a la raíz cuadrada de la relación de sus masas:
rp/re =√ (mp/me)
Dado que el protón es mucho más pesado que el electrón (MP>> ME), el radio de la ruta del protón será significativamente mayor que el radio de la ruta del electrón.
