$$\overrightarrow r=\overrightarrow{v_0}t+\frac{1}{2}\overrightarrow{g}t^2$$
donde \(\overrightarrow r\) es la posición de la pelota en el tiempo \(t\), \(\overrightarrow{v_0}\) es la velocidad inicial de la pelota, \(\overrightarrow{g}\) es la aceleración debida a la gravedad, y \(t\) es el tiempo.
Esta ecuación es válida para cualquier objeto que se mueva en dos dimensiones bajo la influencia de la gravedad, independientemente de la dirección en la que sea lanzado. La única restricción es que el objeto debe moverse en un plano paralelo al suelo.
Para ver cómo se aplica la ecuación del movimiento de un proyectil a una pelota lanzada en una dirección arbitraria, consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que se lanza una pelota con una velocidad inicial de 10 m/s en un ángulo de 30 grados sobre la horizontal. La ecuación del movimiento del proyectil de esta pelota es:
$$\overrightarrow r=(10\cos30^\circ)\hat{i}+(10\sin30^\circ)t\hat{j}-\frac{1}{2}gt^2\hat{j }$$
donde \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\) son los vectores unitarios en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.
Esta ecuación se puede utilizar para calcular la posición de la pelota en cualquier momento \(t\). Por ejemplo, en el momento \(t =1\text{ s}\), la posición de la pelota es:
$$\overrightarrow r=(10\cos30^\circ)\hat{i}+(10\sin30^\circ)(1\text{ s})\hat{j}-\frac{1}{2} (9.8\text{ m/s}^2)(1\text{ s})^2\hat{j}$$
$$=(8.66\text{ m})\hat{i}+(5\text{ m})\hat{j}-(4.9\text{ m})\hat{j}$$
$$=(8.66\text{ m})\sombrero{i}+(0.1\text{ m})\sombrero{j}$$
Por tanto, la pelota se encuentra a 8,66 m del punto de partida en dirección horizontal y a 0,1 m del punto de partida en dirección vertical.
La ecuación del movimiento de un proyectil se puede utilizar para resolver una variedad de problemas que involucran el movimiento de objetos bajo la influencia de la gravedad. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular el alcance de un proyectil, la altura máxima de un proyectil y el tiempo de vuelo de un proyectil.
