Las ecuaciones de movimiento de Lagrange son un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden que describen el movimiento de un sistema de partículas. Se derivan del principio de acción mínima, que establece que el camino real que sigue un sistema entre dos puntos es el que minimiza la integral de acción.
La integral de acción se define como la integral del Lagrangiano en el tiempo:
$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt$$
donde $q_i$ son las coordenadas generalizadas del sistema, $\dot{q_i}$ son sus derivadas temporales y $L$ es el lagrangiano. El lagrangiano es función de las coordenadas generalizadas, sus derivadas temporales y el tiempo.
El principio de acción mínima establece que el camino real que sigue un sistema entre dos puntos es el que minimiza la integral de acción. Esto se puede expresar matemáticamente como:
$$\delta S =0$$
donde $\delta S$ es la variación de la integral de acción.
Las ecuaciones de movimiento de Lagrange se pueden derivar del principio de mínima acción utilizando el cálculo de variaciones. El cálculo de variaciones es una rama de las matemáticas que se ocupa de encontrar funciones que minimicen o maximicen un funcional.
Para encontrar las funciones que minimizan la integral de acción, necesitamos encontrar las variaciones de la integral de acción e igualarlas a cero. Las variaciones de la integral de acción vienen dadas por:
$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t\right) dt$$
donde $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ y $\delta t$ son las variaciones de las coordenadas generalizadas, sus derivadas temporales y el tiempo.
Igualando a cero las variaciones de la integral de acción, obtenemos:
$$\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)$$
Estas son las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Son un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden que describen el movimiento de un sistema de partículas.
Ejemplo:
Considere una partícula de masa $m$ que se mueve en un potencial unidimensional $V(x)$. El lagrangiano de este sistema es:
$$L =\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)$$
La coordenada generalizada para este sistema es $x$ y su derivada temporal es $\dot{x}$. El lagrangiano es una función de $x$, $\dot{x}$ y $t$.
La ecuación de movimiento de Lagrange para este sistema es:
$$\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$$
Sustituyendo el lagrangiano en esta ecuación, obtenemos:
$$- \frac{\partial V}{\partial x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$
Esta es la segunda ley del movimiento de Newton para una partícula de masa $m$ que se mueve en un potencial unidimensional $V(x)$.
