Una buena comprensión del álgebra te ayudará a resolver problemas de geometría, como encontrar la distancia desde un punto a una línea. La solución consiste en crear una nueva línea perpendicular que une el punto a la línea original, luego encontrar el punto donde se cruzan las dos líneas y finalmente calcular la longitud de la nueva línea al punto de intersección.
TL; DR (Demasiado largo; no se leyó)
Para encontrar la distancia de un punto a una línea, primero encuentre la línea perpendicular que pasa por el punto. Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, encuentre la distancia desde el punto original hasta el punto de intersección entre las dos líneas.
Encuentre la línea perpendicular
La nueva línea será perpendicular a la original, es decir, Las dos líneas se cruzan en ángulo recto. Para determinar la ecuación de la nueva línea, toma el inverso negativo de la pendiente de la línea original. Dos líneas, una con una pendiente A, y la otra con una pendiente, -1 ÷ A, se intersecarán en ángulo recto. El siguiente paso es sustituir el punto en la ecuación de la forma pendiente-intersección de una nueva línea para determinar su intersección en y.
Como ejemplo, tome la línea y \u003d x + 10 y el punto (1, 1) Tenga en cuenta que la pendiente de la línea es 1. El recíproco negativo de 1 es -1 ÷ 1 o -1. Entonces, la pendiente de la nueva línea es -1, por lo que la forma de pendiente-intersección de la nueva línea es y \u003d -x + B, donde B es un número que aún no conoce. Para encontrar B, sustituya los valores x e y del punto en la ecuación de línea:
y \u003d -x + B
Use el punto original (1,1), así que sustituya 1 por x y 1 para y:
1 \u003d -1 + B1 + 1 \u003d 1 - 1 + B agregue 1 a ambos lados2 \u003d B
Ahora tiene el valor para B.
La ecuación de la nueva línea es y \u003d -x + 2.
Determine el punto de intersección
Las dos líneas se cruzan cuando sus valores de y son iguales. Lo encuentras estableciendo las ecuaciones iguales entre sí, luego resuelve para x. Cuando haya encontrado el valor para x, inserte el valor en cualquiera de las ecuaciones de línea (no importa cuál) para encontrar el punto de intersección.
Continuando con el ejemplo, tiene la línea original:
y \u003d x + 10
y la nueva línea, y \u003d -x + 2
x + 10 \u003d -x + 2 Establezca las dos ecuaciones iguales entre sí.
x + x + 10 \u003d x -x + 2 Suma x a ambos lados.
2x + 10 \u003d 2
2x + 10 - 10 \u003d 2 - 10 Resta 10 de ambos lados.
2x \u003d -8
(2 ÷ 2) x \u003d -8 ÷ 2 Divide ambos lados entre 2.
x \u003d -4 Este es el valor x del punto de intersección.
y \u003d -4 + 10 Sustituye x por este valor en una de las ecuaciones .
y \u003d 6 Este es el valor y del punto de intersección.
El punto de intersección es (-4, 6)
Buscar la longitud de una nueva línea
La longitud de la nueva La línea, entre el punto dado y el punto de intersección recién encontrado, es la distancia entre el punto y la línea original. Para encontrar la distancia, reste los valores x e y para obtener los desplazamientos x e y. Esto te da los lados opuestos y adyacentes de un triángulo rectángulo; la distancia es la hipotenusa, que se encuentra con el teorema de Pitágoras. Suma los cuadrados de los dos números y toma la raíz cuadrada del resultado.
Siguiendo el ejemplo, tienes el punto original (1,1) y el punto de intersección (-4,6).
x1 \u003d 1, y1 \u003d 1, x2 \u003d -4, y2 \u003d 6
1 - (-4) \u003d 5 Restar x2 de x1.
1 - 6 \u003d -5 Restar y2 de y1.
5 ^ 2 + (-5) ^ 2 \u003d 50 Cuadra los dos números, luego suma.
√ 50 o 5 √ 2 Saca la raíz cuadrada del resultado.
5 √ 2 es la distancia entre el punto (1,1) y la recta, y \u003d x + 10.
