Probablemente tengas una idea intuitiva de lo que es un círculo:la forma de una canasta de baloncesto, una rueda o una moneda de veinticinco centavos. Quizás incluso recuerdes del colegio que el radio es cualquier línea recta que comienza en el centro del círculo y termina en su perímetro.
Un círculo unitario es solo un círculo que tiene un radio con una longitud de 1. Pero a menudo, viene con algunas otras características.
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Un círculo unitario define relaciones de triángulo rectángulo conocidas como seno, coseno y tangente. Estas relaciones describen cómo se relacionan entre sí los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos.
Digamos, por ejemplo, que tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 grados y cuyo lado más largo, o hipotenusa, tiene una longitud de 7. Podemos usar nuestras relaciones de triángulo rectángulo predefinidas para calcular las longitudes de los lados de los dos triángulos restantes. lados.
Esta rama de las matemáticas, conocida como trigonometría, tiene aplicaciones prácticas cotidianas como la construcción, el GPS, la plomería, los videojuegos, la ingeniería, el trabajo de carpintería y la navegación aérea.
Para memorizar un círculo unitario estándar, debemos poder recordar tres componentes principales:
Para ayudarnos vamos a recordar un viaje al Unit Pizza Palace. Tómate unos momentos para memorizar lo siguiente hasta que puedas recitarlo sin mirar:
Imagine una pizza entera, cortada en cuatro porciones iguales. En matemáticas llamaríamos a estas cuatro partes del círculo cuadrantes.
Podemos usar coordenadas (x, y) para describir cualquier punto a lo largo del borde exterior del círculo. El valor x o la coordenada x representa la distancia recorrida hacia la izquierda o hacia la derecha desde el centro, mientras que el valor y la coordenada y representa la distancia recorrida hacia arriba o hacia abajo.
La coordenada x es el coseno del ángulo formado por el punto, el origen y el eje x. La coordenada y corresponde al valor exacto de la función seno para ese ángulo.
En un círculo unitario, una línea recta que viaja directamente desde el centro del círculo llegará al borde del círculo en la coordenada (1, 0). Aquí están las coordenadas si la línea fuera en otras direcciones:
Los cuatro ángulos asociados (en radianes, no en grados) tienen un denominador de 2. (Un radian es el ángulo que se forma al tomar el radio y envolverlo alrededor de un círculo. Un grado mide los ángulos por la distancia recorrida. Un círculo mide 360 grados o 2π radianes).
Los numeradores comienzan en 0, comenzando en la coordenada (1,0) y cuentan en sentido antihorario 1π. Este proceso producirá 0π/2, 1π/2, 2π/2 y 3π/2. Simplifica estas fracciones para obtener 0, π/2, π y 3π/2.
Comience con "3 pasteles". Eche un vistazo al eje y. Los ángulos en radianes directamente a la derecha e izquierda del eje y tienen todos un denominador de 3. Cada ángulo restante tiene un numerador que incluye el valor matemático pi, escrito como π.
"3 pasteles por 6" se utiliza para recordar los 12 ángulos restantes en un círculo unitario estándar, con tres ángulos en cada cuadrante. Cada uno de estos ángulos se escribe como una fracción.
El "por $6" es para recordarnos que en cada cuadrante, los denominadores restantes son 4 y luego 6.
La parte más complicada de este paso es completar el numerador de cada fracción.
En el cuadrante 2 (cuarto superior izquierdo del círculo), coloque 2, luego 3, luego 5 delante de π.
Tu primer ángulo en el cuadrante 2 será 2π/3. Esto se calcula fácilmente sumando el 2 en el numerador y el 3 en el denominador, lo que equivale a 5.
Mire el ángulo recto en el cuadrante 4 (cuarto inferior derecho del círculo). Coloca este 5 en el numerador delante de π. Repita este proceso para los otros dos ángulos en los cuadrantes 2 y 4.
Repetiremos el mismo proceso para los cuadrantes 1 (arriba a la derecha) y 3 (abajo a la izquierda). Recuerde, así como x es igual a 1x, π es igual a 1π. Entonces estamos sumando 1 a todos los denominadores en el cuadrante 1.
El proceso para enumerar ángulos en grados (en lugar de radianes) se describe al final de este artículo.
El "2" en "2 tablas cuadradas" nos recuerda que los 12 pares de coordenadas restantes tienen un denominador de 2.
"Cuadrado" es para recordarnos que el numerador de cada coordenada incluye una raíz cuadrada. Solo comenzamos con el cuadrante 1 para simplificar las cosas. (Pista:recuerda que la raíz cuadrada de 1 es 1, por lo que estas fracciones se pueden simplificar a solo 1/2.)
El "1, 2, 3" nos muestra la sucesión de números bajo cada raíz cuadrada. Para las coordenadas x del cuadrante 1, contamos del 1 al 3, comenzando en la coordenada superior y bajando.
Las coordenadas y tienen los mismos numeradores, pero cuentan del 1 al 3 en la dirección opuesta, de abajo hacia arriba.
El cuadrante 2 tiene las mismas coordenadas que el cuadrante 1, pero las coordenadas x son negativas.
El cuadrante 3 cambia las coordenadas xey del cuadrante 1. Todas las coordenadas xey también son negativas.
Al igual que el cuadrante 3, el cuadrante 4 también cambia las coordenadas x e y del cuadrante 1. Pero sólo las coordenadas y son negativas.
Es posible que desee hacer referencia a los ángulos en grados en lugar de radianes. Para hacerlo, comience en 0 grados en la coordenada (1,0). A partir de ahí sumaremos 30, 15, 15 y luego 30. En el cuadrante 1, sumamos 30 a 0 para obtener 30, sumamos 15 a 30 para obtener 45, sumamos 15 a 45 para obtener 60 y sumamos 30 a 60 para obtener 90.
Luego repetimos el proceso para los cuadrantes restantes, sumando 30, 15, 15 y 30 hasta llegar al final del círculo. Por lo tanto, el cuadrante 4 tendrá ángulos que oscilarán entre 270 y 330 grados (ver figura 10).
Recuerde, el círculo unitario se puede utilizar para encontrar dos lados desconocidos de un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 grados y cuyo lado más largo, o hipotenusa, mide 7. Probémoslo.
Tome nota de dónde está 30° en el círculo unitario. Utilice esa línea y el eje x para crear un triángulo de la siguiente manera.
En un círculo unitario, cualquier línea que comience en el centro del círculo y termine en su perímetro tendrá una longitud de 1. Entonces, el lado más largo de este triángulo tendrá una longitud de 1. El lado más largo de un triángulo rectángulo es también conocida como hipotenusa. El punto donde la hipotenusa toca el perímetro del círculo está en √3/2, 1/2.
Entonces sabemos que la base del triángulo (en el eje x) tiene una longitud de √3/2 y la altura del triángulo es 1/2.
Otra forma de verlo es que la base es √3/2 veces la longitud de la hipotenusa y la altura es 1/2 veces la longitud de la hipotenusa.
Entonces, si en cambio, la hipotenusa tiene una longitud de 7, la base de nuestro triángulo será 7 x √3/2 =7√3/2.
El triángulo tendrá una altura de 7 x 1/2 =7/2.
Este artículo fue actualizado junto con tecnología de inteligencia artificial, luego verificado y editado por un editor de HowStuffWorks.
Ahora eso es interesanteSe cree que la trigonometría se desarrolló originalmente en el siglo I a.C. comprender la astronomía, el estudio de las estrellas y el sistema solar. Todavía se utiliza en la exploración espacial por parte de empresas como la NASA y empresas privadas de transporte espacial.
