A veces la cantidad x _{f - x i
se escribe}

Δx
, que significa "el cambio en x
", o incluso simplemente como d
, que significa desplazamiento. Todos son equivalentes. Posición, velocidad y aceleración son cantidades vectoriales, lo que significa que tienen una dirección asociada a ellas. En una dimensión, la dirección generalmente se indica mediante signos: las cantidades positivas están en la dirección positiva y las cantidades negativas están en la dirección negativa.
Subíndices: "0" podría usarse para la posición inicial y la velocidad en lugar de i
. Este "0" significa "en t
\u003d 0", y x <sub>0
y v 0
normalmente se pronuncian "x-nada" ", 3, [[* Solo una de las ecuaciones no incluye el tiempo. ¡Al escribir los datos y determinar qué ecuación usar, esta es la clave!


Un caso especial: caída libre</sub>

El movimiento de caída libre es el movimiento de un objeto que se acelera debido a la gravedad solo en ausencia de resistencia al aire. Se aplican las mismas ecuaciones cinemáticas; sin embargo, se conoce el valor de aceleración cerca de la superficie de la Tierra. La magnitud de esta aceleración a menudo se representa con g
, donde g \u003d 9.8 m /s ^{2. La dirección de esta aceleración es hacia abajo, hacia la superficie de la Tierra. (Tenga en cuenta que algunas fuentes pueden aproximarse a g
como 10 m /s 2, y otras pueden usar un valor que sea exacto a más de dos decimales.)
Estrategia de resolución de problemas para problemas cinemáticos en One Dimension:}

Dibuje un diagrama de la situación y elija un sistema de coordenadas apropiado. (Recuerde que x
, v
y a
son todas cantidades de vectores, por lo que al asignar una dirección positiva clara, será más fácil hacer un seguimiento de los signos).


Escriba una lista de cantidades conocidas. (Tenga en cuenta que a veces los conocimientos no son obvios. Busque frases como "comienza desde el descanso", lo que significa que v _{i
\u003d 0, o "toca el suelo", lo que significa que x f
\u003d 0, y así sucesivamente.)}


Determine qué cantidad quiere que encuentre la pregunta. ¿Para qué es lo desconocido que resolverás?


Elige la ecuación cinemática adecuada. Esta será la ecuación que contiene su cantidad desconocida junto con cantidades conocidas.


Resuelva la ecuación para la cantidad desconocida, luego conecte valores conocidos y calcule la respuesta final. (¡Tenga cuidado con las unidades! A veces necesitará convertir unidades antes de calcular).

Cinemática unidimensional Ejemplos


Ejemplo 1: Un anuncio afirma que un automóvil deportivo puede ir de 0 a 60 mph en 2.7 segundos. ¿Cuál es la aceleración de este automóvil en m /s ^{2? ¿Qué distancia recorre durante estos 2.7 segundos?}


Solución:


(Insertar imagen 2)


Cantidades conocidas y desconocidas:
v_i \u003d 0 \\ text {mph {mph } \\\\ v_f \u003d 60 \\ text {mph} \\\\ t \u003d 2.7 \\ text {s} \\\\ x_i \u003d 0 \\\\ a \u003d \\ text {?} \\\\ x_f \u003d \\ text {?}

La primera parte de la pregunta requiere resolver la aceleración desconocida. Aquí podemos usar la ecuación n. ° 1:
v_f \u003d v_i + en \\ implica a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} t

Sin embargo, antes de ingresar números, necesitamos convertir 60 mph a m /s:
60 \\ cancel {\\ text {mph}} \\ Bigg (\\ frac {0.477 \\ text {m /s}} {\\ cancel {\\ text {mph}}} \\ Bigg) \u003d 26.8 \\ text {m /s}

Entonces la aceleración es entonces:
a \u003d \\ frac {(26.8-0)} {2.7} \u003d \\ underline {\\ bold {9.93} \\ text {m /s} ^ 2}

Para saber qué tan lejos llega en ese tiempo, podemos usar la ecuación # 2:
x_f \u003d x_i + v_it + \\ frac 1 2 at ^ 2 \u003d \\ frac 1 2 \\ times 9.93 \\ times 2.7 ^ 2 \u003d \\ subrayado {\\ bold {36.2} \\ text {m}}

Ejemplo 2: Se lanza una pelota a una velocidad de 15 m /s desde una altura de 1.5 m. ¿Qué tan rápido va cuando toca el suelo? ¿Cuánto tiempo lleva llegar al suelo?


Solución:


(Insertar imagen 3)


Cantidades conocidas y desconocidas:
x_i \u003d 1.5 \\ text {m } \\\\ x_f \u003d 0 \\ text {m} \\\\ v_i \u003d 15 \\ text {m /s} \\\\ a \u003d -9.8 \\ text {m /s} ^ 2 \\\\ v_f \u003d? \\\\ t \u003d?

Para resolver la primera parte, podemos usar la ecuación # 3:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \\ implica v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

Todo ya está en unidades consistentes, por lo que podemos insertar valores:
v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5) } \u003d \\ pm \\ sqrt {254.4} \\ approx \\ pm16 \\ text {m /s}

Aquí hay dos soluciones. ¿Cuál es el correcto? Desde nuestro diagrama, podemos ver que la velocidad final debería ser negativa. Entonces la respuesta es:
v_f \u003d \\ underline {\\ bold {-16} \\ text {m /s}}

Para resolver el tiempo, podemos usar la ecuación # 1 o la ecuación # 2. Como la ecuación n. ° 1 es más fácil de usar, usaremos esa:
v_f \u003d v_i + en \\ implica t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a} \u003d \\ frac {(-16-15) } {- 9.8} \\ approx \\ underline {\\ bold {3.2} \\ text {s}}

Tenga en cuenta que la respuesta a la primera parte de esta pregunta no fue 0 m /s. Si bien es cierto que después de que la pelota aterrice, tendrá una velocidad de 0, esta pregunta quiere saber qué tan rápido va en esa fracción de segundo antes del impacto. Una vez que la pelota hace contacto con el suelo, nuestras ecuaciones cinemáticas ya no se aplican porque la aceleración no será constante.
Ecuaciones cinemáticas para movimiento de proyectil (dos dimensiones)


Un proyectil es un objeto que se mueve en dos dimensiones bajo La influencia de la gravedad de la Tierra. Su camino es una parábola porque la única aceleración se debe a la gravedad. Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento de proyectiles toman una forma ligeramente diferente de las ecuaciones cinemáticas enumeradas anteriormente. Utilizamos el hecho de que los componentes de movimiento que son perpendiculares entre sí, como la dirección horizontal x
y la dirección vertical y
, son independientes.
Estrategia de resolución de problemas para el movimiento de proyectiles Problemas cinemáticos:


Dibuje un diagrama de la situación. Al igual que con el movimiento unidimensional, es útil esbozar el escenario e indicar el sistema de coordenadas. En lugar de usar las etiquetas x
, v
y a
para la posición, la velocidad y la aceleración, necesitamos una forma de etiquetar el movimiento en cada dimensión por separado.


Para la dirección horizontal, es más común usar x
para la posición y v _{x
para el componente x de la velocidad (tenga en cuenta que la aceleración es 0 en este dirección, por lo que no necesitamos una variable para ello.) En la dirección y
, es más común usar y
para la posición y v y
para el componente y de la velocidad. La aceleración puede etiquetarse como a y
o podemos usar el hecho de que sabemos que la aceleración debida a la gravedad es g
en la dirección y negativa, y simplemente usar eso en su lugar .}


Escriba una lista de cantidades conocidas y desconocidas dividiendo el problema en dos secciones: movimiento vertical y horizontal. Use la trigonometría para encontrar los componentes x e y de cualquier cantidad vectorial que no se encuentre a lo largo de un eje. Puede ser útil enumerar esto en dos columnas:


(inserte la tabla 1)


Nota: Si la velocidad se da como una magnitud junto con un ángulo, Ѳ
, encima de la horizontal, luego use la descomposición vectorial, v _{x \u003d vcos (Ѳ)
y v y \u003d vsin (Ѳ)
.}


Podemos considerar nuestras tres ecuaciones cinemáticas de antes y adaptarlas a las direcciones x e y respectivamente.


Dirección X:
x_f \u003d x_i + v_xt

Dirección Y:
v_ {yf} \u003d v_ {yi} -gt \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\\\ (v_ {yf}) ^ 2 \u003d (v_ {yi}) ^ 2-2g (y_f - y_i)

Tenga en cuenta que la aceleración en la dirección y
es -g si suponemos que arriba es positiva. Un error común es que g \u003d -9.8 m /s ^{2, pero esto es incorrecto; g
en sí mismo es simplemente la magnitud de la aceleración: g \u003d 9.8 m /s 2, por lo que debemos especificar que la aceleración es negativa.}


Resolver para uno desconocido en uno de esas dimensiones, y luego conecte lo que es común en ambas direcciones. Si bien el movimiento en las dos dimensiones es independiente, ocurre en la misma escala de tiempo, por lo que la variable de tiempo es la misma en ambas dimensiones. (El tiempo que le toma a la pelota someterse a su movimiento vertical es la misma que la cantidad de tiempo que le lleva a su movimiento horizontal.)

Cinemática de movimiento de proyectil Ejemplos


Ejemplo 1: Un proyectil Se lanza horizontalmente desde un acantilado de 20 m de altura con una velocidad inicial de 50 m /s. ¿Cuánto tiempo lleva golpear el suelo? ¿A qué distancia de la base del acantilado aterriza?


(inserte la imagen 4)


Cantidades conocidas y desconocidas:


(inserte la tabla 2)


Podemos encontrar el tiempo que lleva tocar el suelo usando la segunda ecuación de movimiento vertical:
y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\ implica t \u003d \\ sqrt {\\ frac { (2 \\ times 20)} g} \u003d \\ underline {\\ bold {2.02} \\ text {s}}

Luego, para encontrar dónde aterriza, x _{f
, podemos usar el ecuación de movimiento horizontal:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 50 \\ times2.02 \u003d \\ underline {\\ bold {101} \\ text {s}}}

Ejemplo 2: Se lanza una pelota a 100 m /s desde el suelo nivelar en un ángulo de 30 grados con la horizontal. ¿Dónde aterriza? ¿Cuándo es su velocidad más pequeña? ¿Cuál es su ubicación en este momento?


(inserte la imagen 5)


Cantidades conocidas y desconocidas:


Primero necesitamos dividir el vector de velocidad en componentes:
v_x \u003d v_i \\ cos (\\ theta) \u003d 100 \\ cos (30) \\ aprox 86.6 \\ text {m /s} \\\\ v_ {yi} \u003d v_i \\ sin (\\ theta) \u003d 100 \\ sin (30) \u003d 50 \\ text {m /s}

Nuestra tabla de cantidades es entonces:


(inserte la tabla 3)


Primero necesitamos encontrar el momento en que la pelota está en vuelo. Podemos hacer esto con la segunda ecuación vertical_. Tenga en cuenta que usamos la simetría de la parábola para determinar que la velocidad final _y
es la negativa de la inicial:


Luego determinamos qué tan lejos se mueve en la dirección x
en este momento:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ times 10.2 \\ approx \\ underline {\\ bold {883} \\ text m}

Usando la simetría de Parabólico, podemos determinar que la velocidad es más pequeña a 5.1 s, cuando el proyectil está en el pico de su movimiento y la componente vertical de la velocidad es 0. Las componentes x e y de su movimiento en este momento son:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ times 5.1 \\ approx \\ underline {\\ bold {442} \\ text m} \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \u003d 50 \\ times5. 1- \\ frac 1 2 9.8 \\ times 5.1 ^ 2 \\ approx \\ underline {\\ bold {128} \\ text {m}} Derivación de ecuaciones cinemáticas


Ecuación # 1: Si la aceleración es constante, entonces:
a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {t}

Resolviendo la velocidad, tenemos:
v_f \u003d v_i + en

Ecuación # 2: La velocidad promedio se puede escribir en dos formas :
v_ {avg} \u003d \\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Si reemplazamos _v _{f _ con la expresión de la ecuación # 1, obtenemos:
\\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}}

Resolviendo para x _{f
da:
x_f \u003d x_i + v_i t + \\ frac 1 2 en ^ 2}

Ecuación # 3: Comience por resolver para t
en la ecuación # 1
v_f \u003d v_i + at \\ implica t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a}

Inserte esta expresión para t
en la relación de velocidad promedio:
v_ {avg} \u003d \\ frac { (x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2} \\ implica \\ frac {(x_f-x_i)} {(\\ frac {(v_f-v_i)} {a})} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Reorganizar esta expresión da:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)