Hay un problema: las raíces de un polinomio pueden ser reales o imaginarias. Las raíces "reales" son miembros del conjunto conocido como números reales, que en este punto de tu carrera matemática es cada número con el que estás acostumbrado a lidiar. Dominar los números imaginarios es un tema completamente diferente, así que por ahora, solo recuerda tres cosas:

La forma más versátil de encontrar raíces es factorizar su polinomio tanto como sea posible y luego establecer cada término igual a cero. Esto tiene mucho más sentido una vez que haya seguido algunos ejemplos. Considere el polinomio simple x
^{2 - 4_x: _}

1. Factorizar el polinomio
   
   

   Un breve examen muestra que puede factorizar x
   de ambos términos del polinomio, que le da:
   

   x
   ( x
   - 4)
   

2. Encuentre los ceros
   
   

   Establezca cada término en cero. Eso significa resolver dos ecuaciones:
   

   x
   \u003d 0 es el primer término establecido en cero, y
   

   x
   - 4 \u003d 0 es el segundo término establecido en cero.
   

   Ya tiene la solución para el primer término. Si x
   \u003d 0, entonces toda la expresión es igual a cero. Entonces x
   \u003d 0 es una de las raíces, o ceros, del polinomio.
   

   Ahora, considere el segundo término y resuelva x
   . Si agrega 4 a ambos lados, tendrá:
   

   x
   - 4 + 4 \u003d 0 + 4, lo que se simplifica a:
   

   x
   \u003d 4. Entonces, si x
   \u003d 4, el segundo factor es igual a cero, lo que significa que todo el polinomio es igual a cero también.
   

3. Lista tus respuestas
   
   

   Debido a que el polinomio original era de segundo grado (el máximo exponente era dos), sabes que solo hay dos posibles raíces para este polinomio. Ya los ha encontrado a ambos, así que todo lo que tiene que hacer es enumerarlos:
   

   x
   \u003d 0, x
   \u003d 4
   
   Buscar Raíces por factorización: Ejemplo 2
   

   Aquí hay un ejemplo más de cómo encontrar raíces por factorización, usando un poco de álgebra elegante en el camino. Considere el polinomio x
   ^{4 - 16. Una mirada rápida a sus exponentes le muestra que debe haber cuatro raíces para este polinomio; ahora es el momento de encontrarlos.}
   

   1. Factoriza el polinomio
      
      

      ¿Notó que este polinomio se puede reescribir como la diferencia de cuadrados? Entonces, en lugar de x
      ^{4 - 16, tiene:}
      

      ( x
      ^{2) 2 - 4 2}
      

      Que, usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, factoriza lo siguiente:
      

      ( x
      ^{2 - 4) ( x
      2 + 4)}
      

      El primer término es, nuevamente, una diferencia de cuadrados. Entonces, aunque ya no puede factorizar el término a la derecha, puede factorizar el término a la izquierda un paso más:
      

      ( x
      - 2) ( x
      + 2) ( x
      ^{2 + 4)}
      

   2. Encuentra los ceros
      
      

      Ahora es el momento de encontrar los ceros. Rápidamente se hace evidente que si x
      \u003d 2, el primer factor será igual a cero y, por lo tanto, toda la expresión será igual a cero.
      

      Del mismo modo, si x
      \u003d - 2, el segundo factor será igual a cero y, por lo tanto, también lo será la expresión completa.
      

      Entonces x
      \u003d 2 y x
      \u003d -2 son ambos ceros, o raíces, de este polinomio.
      

      ¿Pero qué hay del último término? Debido a que tiene un exponente "2", debe tener dos raíces. Pero no puedes factorizar esta expresión usando los números reales a los que estás acostumbrado. Tendría que usar un concepto matemático muy avanzado llamado números imaginarios o, si lo prefiere, números complejos. Eso está más allá del alcance de su práctica matemática actual, por lo que por ahora es suficiente tener en cuenta que tiene dos raíces reales (2 y -2) y dos raíces imaginarias que dejará sin definir.
      
      Buscar raíces graficando
      

      También puede encontrar, o al menos estimar, raíces graficando. Cada raíz representa un punto donde la gráfica de la función cruza el eje x
      . Entonces, si grafica la línea y luego observa las coordenadas x
      donde la línea cruza el eje x
      , puede insertar los valores estimados x
      de esos puntos en su ecuación y verifique si las ha acertado.
      

      Considere el primer ejemplo que trabajó, para el polinomio x
      ^{2 - 4_x_. Si lo dibuja con cuidado, verá que la línea cruza el eje x
      en x
      \u003d 0 y x
      \u003d 4. Si ingresa cada uno de estos valores en la ecuación original, obtendrás:}
      

      0 ^{2 - 4 (0) \u003d 0, entonces x
      \u003d 0 era un cero o raíz válida para este polinomio .}
      

      4 ^{2 - 4 (4) \u003d 0, entonces x
      \u003d 4 también es un cero válido o raíz para este polinomio. Y debido a que el polinomio era de grado 2, sabes que puedes dejar de buscar después de encontrar dos raíces.}