La trigonometría puede parecer un tema bastante abstracto. Los términos arcanos como "pecado" y "cos" simplemente no parecen corresponder a nada en la realidad, y es difícil comprenderlos como conceptos. El círculo unitario ayuda sustancialmente con esto, ofreciendo una explicación directa de cuáles son los números que obtienes cuando tomas el seno, el coseno o la tangente de un ángulo. Para cualquier estudiante de ciencias o matemáticas, comprender el círculo de la unidad realmente puede consolidar su comprensión de la trigonometría y cómo usar las funciones.

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Un círculo unitario tiene un radio de uno. Imagine un sistema de coordenadas xy
comenzando en el centro de este círculo. Los ángulos de los puntos se miden desde donde x
\u003d 1 y y
\u003d 0, en el lado derecho del círculo. Los ángulos aumentan a medida que se mueve en sentido antihorario.

Usando este marco, y y
para la y
-coordinada y x
para la x
-coordenada del punto en el círculo:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Y en consecuencia:

tan θ
\u003d y
/ x

¿Qué es el círculo unitario?

Un círculo "unitario" tiene un radio de 1. En otras palabras, la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier parte del borde es siempre 1. La unidad de medida no Realmente no importa, porque lo más importante sobre el círculo unitario es que hace que muchas ecuaciones y cálculos sean mucho más simples.

También sirve como una base útil para observar las definiciones de ángulos. Imagine que el centro del círculo se encuentra en el centro de un sistema de coordenadas con un eje x
que se ejecuta horizontalmente y un eje y
que se ejecuta verticalmente. El círculo cruza el eje x
en x
\u003d 1, y
\u003d 0. Científicos y matemáticos definen el ángulo desde ese punto moviéndose en sentido antihorario . Entonces el punto x
\u003d 1, y
\u003d 0 en el círculo está en un ángulo de 0 °.
Las definiciones de pecado y cos con el círculo unitario

Las definiciones ordinarias de pecado, cos y tan dadas a los estudiantes se relacionan con triángulos. Declaran:

sin θ
\u003d opuesto /hipotenusa

cos θ
\u003d adyacente /hipotenusa

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

El "opuesto" se refiere a la longitud del lado del triángulo opuesto al ángulo, "adyacente" se refiere a la longitud del lado al lado del ángulo y la "hipotenusa" se refiere a la longitud del lado diagonal del triángulo.

Imagina crear un triángulo para que la hipotenusa sea siempre el radio del círculo unitario, con uno esquina en el borde del círculo y una en el centro. Esto significa que la hipotenusa \u003d 1 en las ecuaciones anteriores, por lo que las dos primeras se convierten en:

sin θ
\u003d opuesto /1 \u003d opuesto

cos θ
\u003d adyacente /1 \u003d adyacente

Si hace que el ángulo en cuestión sea el que está en el centro del círculo, lo opuesto es solo el y
-coordinado y el adyacente es solo el < em> x
-coordenada del punto en el círculo que toca el triángulo. En otras palabras, sin devuelve la y
-coordinada en el círculo unitario (usando coordenadas que comienzan en el centro) para un ángulo dado y cos devuelve la x
-coordinada. Es por eso que cos (0) \u003d 1 y sin (0) \u003d 0, porque en este punto esas son las coordenadas. Del mismo modo, cos (90) \u003d 0 y sin (90) \u003d 1, porque este es el punto con x
\u003d 0 y y
\u003d 1. En forma de ecuación:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Los ángulos negativos también son fácil de entender sobre la base de esto. Los ángulos negativos (medidos en el sentido de las agujas del reloj desde el punto de partida) tienen la misma coordenada x
que el ángulo positivo correspondiente, por lo tanto:

cos - θ

\u003d cos θ

Sin embargo, el y
-coordinado cambia, lo que significa que

sin - θ

\u003d −sin θ

La definición de Tan con el círculo unitario

La definición de tan dada anteriormente es:

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Pero con las definiciones de círculo unitario de sin y cos, puede ver que esto es equivalente a:

tan θ
\u003d opuesto /adyacente

O, pensando en términos de coordenadas:

tan θ
\u003d y
/ x

Esto explica por qué el bronceado no está definido para 90 ° o −270 ° y 270 ° o −90 ° (donde x
\u003d 0), porque puede no divida por cero.
Graficando funciones trigonométricas

Graficar pecado o cos se vuelve más fácil cuando piensa en el círculo unitario. El x
-coordinado varía suavemente a medida que se mueve alrededor del círculo, comenzando en 1 y disminuyendo a un mínimo de −1 a 180 °, y luego aumentando de la misma manera. La función sin hace lo mismo, pero primero aumenta a un valor máximo de 1 a 90 °, antes de seguir el mismo patrón. Se dice que las dos funciones están 90 ° fuera de "fase" entre sí.

Graficar el bronceado requiere dividir y
por x
, por lo que es más complicado gráfico, y también tiene puntos donde no está definido.