Comprensión de secuencias geométricas

En una secuencia geométrica, cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante, llamada razón común (r). La secuencia puede ser finita o infinita y los valores pueden crecer, reducirse u oscilar dependiendo de r.

TL;DR

Una secuencia geométrica es una lista ordenada donde cada término es igual al término anterior multiplicado por una razón común distinta de cero. Si |r|<1 los términos convergen a cero; si |r|>1 divergen hasta el infinito.

Definición y fórmulas

La secuencia comienza con un término inicial a y se expresa como:a, ar, ar2, ar3, …, arS-1 . El enésimo término viene dado por:an = a·rn-1 . Una forma recursiva es an = r·an-1 .

Ejemplo:a=3, r=2, S=8 → 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. El octavo término es a8 = 3·27 = 384 .

Propiedades clave

• Each interior term is the geometric mean of its neighbors.
• Cuando r>1, una secuencia infinita diverge a +∞.
• Cuando 0
• Cuando –1
• Cuando r<–1, la secuencia alterna signos y diverge a ±∞.

Aplicaciones del mundo real

Las secuencias geométricas modelan el crecimiento o la decadencia exponencial, como por ejemplo:

• Crecimiento demográfico o desintegración radiactiva.
• Interés compuesto en finanzas.
• Atenuación de señal en ingeniería.

Los pronósticos precisos en estos dominios se basan en fórmulas generales y recursivas, lo que permite realizar predicciones a partir de un único término conocido y la proporción común.

Para obtener un tratamiento matemático en profundidad, consulte Introductory Mathematical Sequences de J. Smith, 2020.