Comprender los conceptos
* movimiento armónico simple (shm): Un tipo de movimiento periódico donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento del equilibrio. Los ejemplos incluyen una masa en un resorte o un péndulo.
* Energía cinética (ke): La energía del movimiento, calculada como Ke =(1/2) MV², donde M es masa y V es velocidad.
* Energía potencial (PE): Energía almacenada debido a la posición o configuración de un objeto. En SHM, la energía potencial generalmente se asocia con la fuerza de restauración (por ejemplo, la energía potencial del primavera).
Derivación
1. Energía total: La energía mecánica total (E) en SHM es constante y es la suma de energía cinética y potencial:
E =Ke + PE
2. Energias iguales: Cuando Ke =PE, podemos reescribir la ecuación de energía total como:
E =2ke =2PE
3. Expresando KE y PE en términos de desplazamiento:
* Ke =(1/2) MV²
* PE =(1/2) kx², donde k es la constante de resorte (o una constante de fuerza de restauración similar) y x es el desplazamiento del equilibrio.
4. Equipadora de energías:
2 [(1/2) MV²] =2 [(1/2) KX²]
mv² =kx²
5. Velocidad en SHM: La velocidad (v) de un objeto en SHM puede expresarse como:
V =ω√ (a² - x²) donde Ω es la frecuencia angular y A es la amplitud de la oscilación.
6. Sustituyendo y resuelto: Sustituya la expresión de velocidad en la ecuación de energía:
m [Ω√ (a² - x²)] ² =kx²
mω² (a² - x²) =kx²
7. Simplificando: Reorganizar la ecuación para resolver para x:
mΩ²a² =(mΩ² + k) x²
x² =(mω²a²) / (mω² + k)
8. Usando la relación entre ω y k: Recuerde que Ω² =k/m. Sustituyendo esto en la ecuación:
x² =(MΩ²a²) / (MΩ² + MΩ²)
x² =(MΩ²a²) / (2mΩ²)
x² =a²/2
9. desplazamiento: Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:
x =a/√2
Conclusión
Cuando las energías cinéticas y potenciales de un objeto en movimiento armónico simple son iguales, el desplazamiento (x) es igual a la amplitud (a) dividida por la raíz cuadrada de 2. Esto significa que el objeto está en una posición aproximadamente el 70.7% de su posición de equilibrio hasta su amplitud máxima.
