En geometría, un radiante es una unidad utilizada para medir ángulos. El radián proviene de la longitud del radio del círculo. El segmento de la circunferencia de un círculo que corresponde al ángulo formado por dos líneas de radio forma un arco. El ángulo que crea este arco, cuando dibuja líneas desde sus puntos inicial y final hasta el centro del círculo, es un radián. Aunque el radián puede parecer extraño y complicado al principio, simplifica las ecuaciones en matemáticas y física.

TL; DR (demasiado largo; no leído)

En geometría, un radián es un unidad basada en el círculo y utilizada para medir ángulos. Facilita los cálculos en tipos avanzados de matemáticas.
Grados vs. Radianes

Fuera de la física y las matemáticas avanzadas, los grados suelen ser unidades más familiares para mediciones angulares. Un círculo, por ejemplo, tiene 360 grados, un triángulo tiene 180 y un ángulo recto tiene 90. Por el contrario, un círculo completo tiene 2 × π (pi) radianes, un triángulo tiene π radianes y un ángulo recto es π ÷ 2 radianes . Un círculo tiene un número entero de grados, mientras que en radianes el valor es un número irracional, por lo que los radianes a primera vista pueden parecer extraños. Por otro lado, puede expresar fracciones de un grado como un decimal, o como los minutos, segundos y segundos decimales que también usa con el tiempo, por lo que el grado tiene problemas propios.
Más fácil y más difícil
< Las mediciones de p> grados suelen ser más fáciles de manejar que los radianes para la aritmética básica y la trigonometría; rara vez tiene que lidiar con fracciones de π cuando expresa un ángulo. Pero para el cálculo y otras matemáticas avanzadas, resulta que los radianes son más fáciles. Por ejemplo, la serie de potencias para la función seno en radianes es la siguiente:

sin (x) \u003d x - (x ^{3 ÷ 3!) + (X 5 ÷ 5!) - (x 7 ÷ 7!) + (x 9 ÷ 9!) ...}

En grados, la función se ve así:

sin (x) \u003d (π × x ÷ 180) - (π × x ÷ 180) ^{3 ÷ 3! + (π × x ÷ 180) 5 ÷ 5! - (π × x ÷ 180) 7 ÷ 7! + (π × x ÷ 180) 9 ÷ 9! ...}

Para esta serie de potencia, tenga en cuenta que necesita repetir “π × x ÷ 180” para cada término: mucha escritura y cálculo adicionales en comparación con el equivalente más ordenado y compacto en radianes. El radián proviene de la geometría natural de un círculo en lugar de una división por un número arbitrario, como lo hacen los grados. Debido a que los radianes facilitan muchos cálculos, los matemáticos piensan que la unidad es más "natural" que los grados.
Usos para radianes

Además de series de potencia como el ejemplo de la función seno, verás radianes en matemática que involucra cálculo y ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, cuando usa radianes, la derivada de la función seno, sin (x), es simplemente el coseno, cos (x). En grados, sin embargo, la derivada de sin (x) es la más engorrosa (π ÷ 180) × cos (x). A medida que avanza en matemáticas, los problemas se vuelven más difíciles y las soluciones requieren muchas más líneas de cálculo y álgebra. Los radianes le ahorran una gran cantidad de escritura adicional innecesaria y reducen las posibilidades de cometer errores.

En física, las fórmulas para la frecuencia de las ondas y la velocidad de rotación de los objetos usan un omega en minúscula, "ω", como una abreviatura conveniente para "2 × π × radianes por segundo".
Convertir grados a radianes

Las fórmulas para convertir grados a radianes y viceversa son sencillas. Para convertir ángulos en grados a radianes, multiplique el ángulo por π y luego divida por 180. Por ejemplo, un círculo tiene 360 grados. Multiplicado por π, que se convierte en 360π; luego divide por 180, y obtienes 2π radianes. Para convertir de radianes a grados, multiplique por 180 y luego divida por π. Por ejemplo, convierta un ángulo recto, π ÷ 2 radianes. Multiplique por 180 para obtener 90π, y luego divida por π para obtener el resultado, 90 grados.