Aquí hay un desglose:
1. Mecánica lagrangiana
La mecánica lagrangiana es un marco poderoso para describir el movimiento de los sistemas. Utiliza una función llamada Lagrangian , que es una función de las coordenadas generalizadas (posiciones) del sistema y las velocidades generalizadas (derivados de tiempo de las posiciones). El lagrangiano se define como la diferencia entre las energías cinéticas y potenciales del sistema:
L =T - V
2. Euler-LaGrange Ecuaciones
Las ecuaciones de movimiento para un sistema se derivan utilizando las ecuaciones Euler-Lagrange :
d/dt (∂l/∂q̇) - ∂l/∂q =0
dónde:
* Q es una coordenada generalizada
* Q̇ es su derivada de tiempo (velocidad generalizada)
* ∂/∂q representa una diferenciación parcial con respecto a Q
* ∂/∂q̇ representa una diferenciación parcial con respecto a Q̇
3. Cancelación del punto
En algunas situaciones, el Lagrangian se puede escribir en una forma que permita una simplificación. Por ejemplo, si el lagrangiano depende solo de las velocidades generalizadas al cuadrado (Q̇²) y no directamente de las velocidades mismas (Q̇), las ecuaciones de Euler-Lagrange simplifican.
Esta simplificación ocurre porque la derivada con respecto a Q̇ (∂l/∂q̇) implicará un factor de 2q̇, que cancela el Q̇ en la derivada del tiempo (d/dt). . Esto deja solo términos que involucran la segunda derivada de Q (Q̈), que es la aceleración.
Ejemplo:
Considere un oscilador armónico simple con energía potencial v =(1/2) kx² y energía cinética t =(1/2) mq̇². El lagrangiano es:
L =t - v =(1/2) mq̇² - (1/2) kx²
Aplicando la ecuación de Euler-LaGrange:
d/dt (∂l/∂q̇) - ∂l/∂q =0
d/dt (mq̇) + kx =0
mq̈ + kx =0
Esta es la ecuación familiar de movimiento para un oscilador armónico simple. Observe cómo el punto (Q̇) cancela durante la derivación.
En resumen:
* La "cancelación del punto" se refiere a una simplificación que ocurre en la mecánica lagrangiana cuando el lagrangiano depende solo de los cuadrados de velocidades generalizadas.
* Esta simplificación conduce a ecuaciones de movimiento más directas y puede ser particularmente útil para sistemas con expresiones de energía cinética simples.
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