Desglosemos cómo calcular el momento cuadrupolo eléctrico en el modelo extremo de partículas individuales.

Comprender los conceptos básicos

* Momento cuadrupolo eléctrico: Esta cantidad mide la desviación de una distribución de carga de la simetría esférica. Un momento cuadrupolo positivo indica una forma de prolla (similar al fútbol), mientras que un momento negativo indica una forma oblato (similar a un panqueque).

* Modelo extremo de una sola partícula: Este modelo simplifica el núcleo suponiendo que todos los nucleones (protones y neutrones), excepto uno, uno está en un núcleo esféricamente simétrico. La partícula única fuera del núcleo contribuye a todo el momento cuadrupolo.

Cálculo

1. Considere la partícula única: Necesitamos centrarnos en la partícula única fuera del núcleo. Supongamos que tiene una carga *e *y está en un orbital con momento angular *l *.

2. Cuantite el momento angular: En la mecánica cuántica, el componente*z*del momento angular se cuantifica, lo que significa que solo puede tomar valores discretos:*m*ħ, donde*m*varía de -*l*a +*l*.

3. Defina el operador de momento cuadrupolo: El operador de momento cuadrupolo, *q *, es dado por:

*Q*=(2/e) σ*i*(3*z _i ^{2 - *r _i 2 )}

* * I * denota cada partícula en el núcleo.

* * z _i *es el *Z *-Coordinado de la partícula *i *-th.

* * r _i *es la distancia radial de la partícula *i *-th desde el centro del núcleo.

4. Evaluar la partícula única: Dado que estamos lidiando con el modelo extremo de una sola partícula, solo necesitamos considerar la contribución de la partícula única:

*Q*=(2/e) (3*z 2 - *r 2 )

5. Express en coordenadas esféricas: Convertir * z * y * r * a coordenadas esféricas (r, θ, φ):

* * z * =* r * cos (θ)

* * r 2 * =* r 2 *

6. Simplifique: Sustituya en la ecuación de momento cuadrupolo:

*Q *=(2/e) *r 2 (3 cos ^{2 (θ) - 1)}

7. promedio sobre coordenadas angulares: El momento cuadrupolo es un valor de expectativa. Para encontrarlo, necesitamos promediar todos los ángulos posibles:

*Q *=(2/e) *r 2 ∫ ₀ 2π dφ ∫ ₀ ^{π sin (θ) (3 cos}

2 (θ) - 1) dθ

8. Evaluar las integrales: La integral evalúa a:

*Q *=(4/5) *e * *r 2

9. Expresión final: El momento cuadrupolo eléctrico para una sola partícula en el modelo extremo de una sola partícula es:

*Q *=(4/5) *e * *r 2

Interpretación

*El momento cuadrupolo depende de la carga (*e*) y la distancia radial al cuadrado (*r 2 *) de la partícula única.

* Una * r * más grande (partícula más lejos del núcleo) conduce a un momento cuadrupolo más grande.

* El signo del momento cuadrupolo (positivo en este caso) indica una forma prolada, consistente con una sola partícula que se encuentra fuera de un núcleo esféricamente simétrico.

nota: Este cálculo supone una sola partícula en el núcleo. Para núcleos reales, contribuyen múltiples partículas y se necesitan modelos más sofisticados para calcular con precisión el momento cuadrupolo.