Comprender los conceptos
* movimiento circular: Cuando una partícula se mueve en una ruta circular, su dirección cambia constantemente, incluso si su velocidad es constante. Este cambio en la dirección significa que hay una aceleración.
* Velocidad angular (Ω): Esto mide qué tan rápido está girando la partícula. Es la velocidad de cambio del ángulo (θ) con respecto al tiempo (t):ω =dθ/dt.
* Aceleración centripetal (a c ): Esta aceleración se dirige hacia el centro del círculo y es responsable de mantener la partícula en movimiento en una ruta circular.
Derive la aceleración
1. Vector de posición: Digamos que la partícula está en una posición r en relación con el centro del círculo. Este vector de posición es una función del tiempo: r (t) .
2. VELOCID VECTIVE: El vector de velocidad es la derivada de tiempo del vector de posición: v (t) =dr (t)/dt . Dado que la partícula se mueve en un círculo, su velocidad siempre es tangente al círculo.
3. Vector de aceleración: El vector de aceleración es la derivada del tiempo del vector de velocidad: a (t) =dv (t)/dt . Para encontrar la aceleración, necesitamos diferenciar el vector de velocidad.
4. Uso de coordenadas polares: Es conveniente usar coordenadas polares (R, θ) para describir la posición de la partícula. En este sistema:
* r es la distancia radial desde el centro del círculo.
* θ es el ángulo que el vector de posición produce con un eje de referencia.
5. Expresando la velocidad en las coordenadas polares:
* v =(dr/dt) * r̂ + (r * dθ/dt) * θ̂
* r̂ es el vector unitario en la dirección radial.
* θ̂ es el vector unitario en la dirección tangencial.
6. Expresando aceleración en coordenadas polares:
* a =[(d²r/dt²) - (r * (dθ/dt) ²)] * r̂ + [(r * d²θ/dt²) + 2 * (dr/dt) * (dθ/dt)] * θ̂
7. Simplificando para el movimiento circular uniforme:
* Para el movimiento circular uniforme, el radio (r) es constante, por lo que dr/dt =0 y d²r/dt² =0.
* Además, la velocidad angular (Ω) es constante, por lo que d²θ/dt² =0.
8. Resultado final:
* a =- (r * ω²) * r̂
Interpretación:
* Dirección: La aceleración está en la dirección radial negativa (hacia el centro del círculo).
* Magnitud: La magnitud de la aceleración es A C =r * Ω². Esta es la aceleración centrípeta.
Por lo tanto, la aceleración de una partícula que experimenta un movimiento circular uniforme viene dada por - (r * Ω²) * r̂, donde r es el radio del círculo y Ω es la velocidad angular.
