Aquí hay un desglose de su origen:
1. Motaje browniano y ecuación de Langevin:
* La base se encuentra en la observación del movimiento browniano, el movimiento aparentemente aleatorio de partículas suspendidas en un fluido.
* Albert Einstein y Marian Smoluchowski Explicó este movimiento utilizando la mecánica estadística, lo que demuestra que es causado por el bombardeo continuo de las partículas por las moléculas del fluido circundante.
* Paul Langevin Posteriormente formuló una ecuación diferencial (ecuación de Langevin) para modelar el movimiento de una partícula sujeta tanto a una fuerza determinista (por ejemplo, fricción) como a una fuerza aleatoria.
2. Conectando a Langevin con probabilidad:
* La ecuación de Langevin describe la trayectoria de una sola partícula. Para comprender el comportamiento colectivo de muchas partículas, necesitamos trabajar con distribuciones de probabilidad.
* Andrey Kolmogorov y Adriaan Fokker desarrolló independientemente la ecuación de Fokker-Planck aplicando un enfoque probabilístico a la ecuación de Langevin.
3. Derivación:
* Usaron la idea de una ecuación de difusión , que describe la propagación de una sustancia debido al movimiento aleatorio.
* Al considerar los términos de deriva y difusión en la ecuación de Langevin, derivaron una ecuación diferencial parcial que rige la evolución del tiempo de la función de densidad de probabilidad.
4. Contribuciones clave:
* Fokker centrado en derivar la ecuación de un modelo físico específico, mientras que planck trabajó en su marco matemático.
* kolmogorov Más tarde generalizó la ecuación para describir una clase más amplia de procesos estocásticos, lo que lleva al nombre de la ecuación de Kolmogorov Forward.
En esencia, la ecuación de Fokker-Planck une la brecha entre la descripción determinista del movimiento de partículas individuales (ecuación de Langevin) y la descripción probabilística del comportamiento colectivo de muchas partículas (función de densidad de probabilidad). .
Aplicaciones:
La ecuación de Fokker-Planck ha encontrado aplicaciones generalizadas en varios campos, incluidos:
* Física: Movimiento browniano, procesos de difusión, física de plasma
* Química: Cinética química, sistemas de difusión de reacción
* biología: Dinámica de la población, expresión génica
* Finanzas: Modelos de precios de opción, precios de activos
Es una herramienta poderosa para comprender y predecir el comportamiento de los sistemas sujetos a fluctuaciones aleatorias.
