Resolver los misterios del electromagnetismo ha sido uno de los mayores logros de la física hasta la fecha, y las lecciones aprendidas están completamente encapsuladas en las ecuaciones de Maxwell.

James Clerk Maxwell da su nombre a estas cuatro ecuaciones elegantes, pero son la culminación de décadas de trabajo de muchos físicos, incluidos Michael Faraday, Andre-Marie Ampere y Carl Friedrich Gauss, que dan sus nombres a tres de las cuatro ecuaciones, y muchos otros. Si bien el propio Maxwell solo agregó un término a una de las cuatro ecuaciones, tuvo la previsión y la comprensión para recopilar lo mejor del trabajo que se había hecho sobre el tema y presentarlo de una manera que todavía usan los físicos hoy en día.

Durante muchos, muchos años, los físicos creyeron que la electricidad y el magnetismo eran fuerzas separadas y fenómenos distintos. Pero a través del trabajo experimental de personas como Faraday, se hizo cada vez más claro que en realidad eran dos lados del mismo fenómeno, y las ecuaciones de Maxwell presentan esta imagen unificada que todavía es tan válida hoy como lo fue en el siglo XIX. Si va a estudiar física a niveles más altos, absolutamente necesita conocer las ecuaciones de Maxwell y cómo usarlas.
Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes, tanto en forma diferencial como integral. formar. (Tenga en cuenta que si bien el conocimiento de las ecuaciones diferenciales es útil aquí, es posible una comprensión conceptual incluso sin ella.)

Ley de Gauss para la electricidad

Forma diferencial:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Forma integral:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Sin Ley Monopolo /Ley de Gauss para el magnetismo

Forma diferencial:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Forma integral:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {A} \u003d 0

Ley de inducción de Faraday

Forma diferencial:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Forma integral:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}

Ley de Ampere-Maxwell /Ley de Ampere

Forma diferencial:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Forma integral:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A } Símbolos usados en las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell usan una selección bastante grande de símbolos, y yo Es importante que comprenda lo que significan si va a aprender a aplicarlos. Aquí hay un resumen de los significados de los símbolos utilizados:

B
\u003d campo magnético

E
\u003d campo eléctrico

ρ
\u003d densidad de carga eléctrica

ε _{0
\u003d permitividad del espacio libre \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d carga eléctrica total (suma neta de cargas positivas y negativas)

< em> 𝜙
_{B \u003d flujo magnético}

J
\u003d densidad de corriente

I
\u003d corriente eléctrica

c
\u003d velocidad de la luz \u003d 2.998 × 10 ^{8 m /s}

μ
_{0 \u003d permeabilidad del espacio libre \u003d 4π × 10 < sup> −7 N /A ²}

Además, es importante saber que ∇ es el operador del, un punto entre dos cantidades ( X
∙ Y
) muestra un producto escalar, un símbolo de multiplicación en negrita entre dos cantidades es un producto vectorial ( X
× Y
), que el operador del con un punto se llama "divergencia" ( por ejemplo, ∇ ∙ X
\u003d d ivergencia de X
\u003d div X
) y un operador del con un producto escalar se llama rizo (p. ej., ∇ × Y
\u003d rizo de Y
\u003d curl Y
). Finalmente, el A
en d A
significa el área de la superficie cerrada para la que está calculando (a veces escrito como d S
), y el s
en d_s_ es una parte muy pequeña del límite de la superficie abierta para la que está calculando (aunque a veces es d_l_, que se refiere a un componente de línea infinitamente pequeño).
Derivación de las ecuaciones

La primera ecuación de las ecuaciones de Maxwell es la ley de Gauss, y establece que el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es igual a la carga total contenida dentro de la forma dividida por la permitividad del espacio libre. Esta ley puede derivarse de la ley de Coulomb, después de dar el paso importante de expresar la ley de Coulomb en términos de un campo eléctrico y el efecto que tendría en una carga de prueba.

La segunda de las ecuaciones de Maxwell es esencialmente equivalente a la afirmación de que "no hay monopolos magnéticos". Establece que el flujo magnético neto a través de una superficie cerrada siempre será 0, porque los campos magnéticos son siempre el resultado de un dipolo. La ley puede derivarse de la ley de Biot-Savart, que describe el campo magnético producido por un elemento actual.

La tercera ecuación, la ley de inducción de Faraday, describe cómo un campo magnético cambiante produce un voltaje en un bucle de alambre o conductor. Originalmente se derivó de un experimento. Sin embargo, dado el resultado de que un flujo magnético cambiante induce una fuerza electromotriz (EMF o voltaje) y, por lo tanto, una corriente eléctrica en un bucle de cable, y el hecho de que EMF se define como la integral de línea del campo eléctrico alrededor del circuito, el la ley es fácil de armar.

La cuarta y última ecuación, la ley de Ampere (o la ley de Ampere-Maxwell para darle crédito por su contribución) describe cómo se genera un campo magnético por una carga en movimiento o un cambio campo eléctrico. La ley es el resultado del experimento (y, como todas las ecuaciones de Maxwell, no fue realmente "derivada" en un sentido tradicional), pero el uso del teorema de Stokes es un paso importante para obtener el resultado básico en la forma utilizada hoy.
Ejemplos de ecuaciones de Maxwell: Ley de Gauss

Para ser sincero, especialmente si no está exactamente en su cálculo vectorial, las ecuaciones de Maxwell parecen bastante desalentadoras a pesar de lo relativamente compactas que son todas. La mejor manera de entenderlos realmente es analizar algunos ejemplos de cómo usarlos en la práctica, y la ley de Gauss es el mejor lugar para comenzar. La ley de Gauss es esencialmente una ecuación más fundamental que hace el trabajo de la ley de Coulomb, y es bastante fácil derivar la ley de Coulomb a partir de ella considerando el campo eléctrico producido por una carga puntual.

Llamar a la carga q
, el punto clave para aplicar la ley de Gauss es elegir la "superficie" correcta para examinar el flujo eléctrico. En este caso, una esfera funciona bien, que tiene un área de superficie A
\u003d 4π_r_ ^{2, porque puede centrar la esfera en la carga puntual. Este es un gran beneficio para resolver problemas como este porque no necesita integrar un campo variable en la superficie; el campo será simétrico alrededor de la carga puntual, por lo que será constante a través de la superficie de la esfera. Entonces la forma integral:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Se puede expresar como:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Tenga en cuenta que el E
para el campo eléctrico se ha reemplazado por una magnitud simple, porque el campo de una carga puntual simplemente se extenderá por igual en todas las direcciones desde la fuente. Ahora, dividiendo entre el área de la superficie de la esfera da:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Dado que la fuerza está relacionada con el campo eléctrico por E
\u003d < em> F
/ q
, donde q
es una carga de prueba, F
\u003d qE
, y así:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Donde se han agregado los subíndices para diferenciar los dos cargos. Esta es la ley de Coulomb establecida en forma estándar, que se muestra como una simple consecuencia de la ley de Gauss. Ejemplos de ecuaciones de Maxwell: Ley de Faraday

La ley de Faraday le permite calcular la fuerza electromotriz en un bucle de alambre resultante de un campo magnético cambiante. Un ejemplo simple es un lazo de alambre, con radio r
\u003d 20 cm, en un campo magnético que aumenta en magnitud de B
_{i \u003d 1 T a B
f \u003d 10 T en el espacio de ∆ t
\u003d 5 s: ¿cuál es el EMF inducido en este caso? La forma integral de la ley involucra el flujo:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

que se define como:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

La parte clave del problema aquí es encontrar la tasa de cambio de flujo, pero dado que el problema es bastante sencillo, puede reemplazar la derivada parcial con un simple "cambio" en cada cantidad. Y la integral realmente solo significa la fuerza electromotriz, por lo que puede reescribir la ley de inducción de Faraday como:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Si suponga que el lazo del cable tiene su alineación normal con el campo magnético, θ
\u003d 0 ° y así cos ( θ
) \u003d 1. Esto deja:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

El problema se puede resolver encontrando la diferencia entre el campo magnético inicial y final y el área del bucle, como sigue:
\\ begin {alineado} \\ text {EMF} &\u003d - \\ frac {∆BA} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ text {T}) × π × (0.2 \\ text {m}) ^ 2} {5 \\ text {s}} \\\\ &\u003d - 0.23 \\ text {V} \\ end {alineado }

Esto es solo un voltaje pequeño, pero la ley de Faraday se aplica de la misma manera independientemente.
Ejemplos de ecuaciones de Maxwell: Ley de Ampere-Maxwell

La ley de Ampere-Maxwell es la última de Las ecuaciones de Maxwell que necesitarás aplicar regularmente. La ecuación vuelve a la ley de Ampere en ausencia de un campo eléctrico cambiante, por lo que este es el ejemplo más fácil de considerar. Puede usarlo para derivar la ecuación para un campo magnético resultante de un cable recto que lleva una corriente I
, y este ejemplo básico es suficiente para mostrar cómo se usa la ecuación. La ley completa es:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E ∙} d \\ bm {A}

Pero sin cambiar el campo eléctrico se reduce a:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Ahora, como con Gauss 'ley, si elige un círculo para la superficie, centrado en el bucle de alambre, la intuición sugiere que el campo magnético resultante será simétrico, por lo que puede reemplazar la integral con un producto simple de la circunferencia del bucle y el magnético intensidad de campo, dejando:
B × 2πr \u003d μ_0 I

Al dividir por 2π_r_ se obtiene:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

¿Cuál es la expresión aceptada para el campo magnético en una distancia r
resultante de un cable recto que lleva una corriente.
Ondas electromagnéticas

Cuando Maxwell reunió su conjunto de ecuaciones, comenzó a encontrar soluciones para ayudar a explicar varios fenómenos en el mundo real, y la visión que dio a la luz es uno de los resultados más importantes que obtuvo.

B Como un campo eléctrico cambiante genera un campo magnético (según la ley de Ampere) y un campo magnético cambiante genera un campo eléctrico (según la ley de Faraday), Maxwell descubrió que podría ser posible una onda electromagnética autopropagante. Utilizó sus ecuaciones para encontrar la ecuación de onda que describiría dicha onda y determinó que viajaría a la velocidad de la luz. "; se dio cuenta de que la luz es una forma de radiación electromagnética, ¡funciona igual que el campo que él imaginó!

Una onda electromagnética consiste en una onda de campo eléctrico y una onda de campo magnético que oscila de un lado a otro, alineadas en ángulo recto con cada una. otro. La oscilación de la parte eléctrica de la onda genera el campo magnético, y la oscilación de esta parte a su vez produce un campo eléctrico de nuevo, una y otra vez a medida que viaja por el espacio.

Como cualquier otra onda, una onda electromagnética la onda tiene una frecuencia y una longitud de onda, y el producto de estas siempre es igual a c
, la velocidad de la luz. Las ondas electromagnéticas nos rodean, y además de la luz visible, otras longitudes de onda se denominan comúnmente ondas de radio, microondas, infrarrojos, ultravioleta, rayos X y rayos gamma. Todas estas formas de radiación electromagnética tienen la misma forma básica que se explica en las ecuaciones de Maxwell, pero sus energías varían con la frecuencia (es decir, una frecuencia más alta significa una energía más alta). Entonces, para un físico, era Maxwell que dijo: "¡Que haya luz!"