Ya sea que se trate de un patinador de hielo que tira de sus brazos y gira más rápido que ella o un gato que controla la rapidez con la que gira durante una caída para asegurarse de que aterrice en su lugar. pies, el concepto de un momento de inercia es crucial para la física del movimiento rotacional.

También conocido como inercia rotacional, el momento de inercia es el análogo rotacional de la masa en la segunda de las leyes de movimiento de Newton, que describe la tendencia de un objeto a resistir la aceleración angular.

El concepto puede no parecer demasiado interesante al principio, pero en combinación con la ley de la conservación del momento angular, puede usarse para describir muchos fenómenos físicos fascinantes y predecir el movimiento en una amplia gama de situaciones.
Definición del momento de inercia

El momento de inercia de un objeto describe su resistencia a la aceleración angular, lo que explica la distribución de la masa alrededor de su eje de rotación. on.

Esencialmente cuantifica lo difícil que es cambiar la velocidad de rotación de un objeto, ya sea que eso signifique comenzar su rotación, detenerlo o cambiar la velocidad de un objeto que ya gira.

Es a veces se llama inercia rotacional, y es útil pensarlo como un análogo de masa en la segunda ley de Newton: F _{net
\u003d ma
. Aquí, la masa de un objeto a menudo se llama masa inercial, y describe la resistencia del objeto al movimiento (lineal). La inercia rotacional funciona así para el movimiento rotacional, y la definición matemática siempre incluye la masa.}

La expresión equivalente a la segunda ley para el movimiento rotacional relaciona torque
( τ
, el análogo rotacional de la fuerza) a la aceleración angular α
y el momento de inercia I
: τ
\u003d Iα
.

Sin embargo, el mismo objeto puede tener múltiples momentos de inercia, porque si bien una gran parte de la definición se refiere a la distribución de masa, también explica la ubicación del eje de rotación.

Por ejemplo, mientras que la definición El momento de inercia para una barra que gira alrededor de su centro es I
\u003d ML
^{2/12 (donde M
es masa y L
es la longitud de la barra), la misma barra que gira alrededor de un extremo tiene un momento de inercia dado por I
\u003d ML
2/3.
Ecuaciones para Momento de inercia}

Entonces el momento de inercia de un cuerpo depende de su masa M
, su radio R
y su eje de rotación ción.

En algunos casos, R
se conoce como d
, para la distancia desde el eje de rotación, y en otros (como con la barra en el anterior sección) se reemplaza por longitud, L
. El símbolo I
se usa para el momento de inercia, y tiene unidades de kg m ^2.

Como es de esperar según lo que ha aprendido hasta ahora, hay muchas ecuaciones diferentes para el momento de inercia, y cada una se refiere a una forma específica y un eje de rotación específico. En todos los momentos de inercia, aparece el término MR
^{2, aunque para diferentes formas hay diferentes fracciones delante de este término, y en algunos casos puede haber múltiples términos sumados.}

El componente MR
^{2 es el momento de inercia para una masa puntual a una distancia R
del eje de rotación, y la ecuación para un cuerpo rígido específico es construido como una suma de masas puntuales, o integrando un número infinito de masas puntuales pequeñas sobre el objeto.}

Mientras que en algunos casos puede ser útil derivar el momento de inercia de un objeto basado en un simple Suma aritmética de masas puntuales o mediante la integración, en la práctica, existen muchos resultados para formas y ejes de rotación comunes que simplemente puede usar sin necesidad de derivarlo primero:

Cilindro sólido (eje de simetría):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Cilindro sólido (eje de diámetro central, o el diámetro de la sección transversal circular en el medio del cilindro):
I \u003d \\ frac {1} {4} MR ^ 2 + \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Esfera sólida (eje central):
I \u003d \\ frac {2} {5} MR ^ 2

Cubierta esférica delgada (eje central) ):
I \u003d \\ frac {2} {3} MR ^ 2

Aro (eje de simetría, es decir, perpendicularmente a través del centro):
I \u003d MR ^ 2

Aro (eje de diámetro, es decir, a través del diámetro del círculo formado por el aro):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Varilla (eje central, perpendicular a la longitud de la varilla):
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Varilla (girando sobre el extremo):
I \u003d \\ frac {1} {3} ML ^ 2 Inercia rotacional y eje de rotación

Comprender por qué existen diferentes ecuaciones para cada eje de rotación, es un paso clave para comprender el concepto de un momento de inercia.

Piensa en un lápiz: puedes rotarlo girándolo en el medio, al final o girándolo alrededor de su eje central. Debido a que la inercia rotacional de un objeto depende de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación, cada una de estas situaciones es diferente y requiere una ecuación separada para describirla.

Puede obtener una comprensión instintiva del concepto de momento de inercia si escala este mismo argumento hasta un asta de bandera de 30 pies.

Girarlo de extremo a extremo sería muy difícil, si es que puede manejarlo, mientras gira el poste sobre su eje central Sería mucho más fácil. Esto se debe a que el torque depende en gran medida de la distancia desde el eje de rotación, y en el ejemplo del asta de bandera de 30 pies, girarlo de extremo a extremo involucra cada extremo a 15 pies de distancia del eje de rotación.

Sin embargo , si lo gira alrededor del eje central, todo está bastante cerca del eje. La situación es muy parecida a cargar un objeto pesado con el brazo extendido en lugar de sostenerlo cerca de su cuerpo, o accionar una palanca desde el extremo frente a un punto de apoyo.

Es por eso que necesita una ecuación diferente para describa el momento de inercia para el mismo objeto dependiendo del eje de rotación. El eje que elija afecta la distancia entre las partes del cuerpo y el eje de rotación, aunque la masa del cuerpo permanezca igual.
Uso de las ecuaciones para el momento de inercia

La clave para calcular el momento de inercia para un cuerpo rígido es aprender a usar y aplicar las ecuaciones apropiadas.

Considere el lápiz de la sección anterior, girando de punta a punta alrededor de un punto central a lo largo de su longitud. Si bien no es una varilla perfecta (la punta puntiaguda rompe esta forma, por ejemplo), puede modelarse como tal para evitar que tenga que pasar por un momento completo de derivación de inercia para el objeto.

Entonces, modelando el objeto como una varilla, usaría la siguiente ecuación para encontrar el momento de inercia, combinado con la masa total y la longitud del lápiz:
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Un desafío mayor es encontrar el momento de inercia para los objetos compuestos.

Por ejemplo, considere dos bolas conectadas entre sí por una varilla (que trataremos como sin masa para simplificar el problema). La bola uno mide 2 kg y está ubicada a 2 m del eje de rotación, y la bola dos tiene una masa de 5 kg y 3 m del eje de rotación.

En este caso, puede encontrar el momento de inercia para este objeto compuesto al considerar cada bola como una masa puntual y trabajar desde la definición básica que:
\\ begin {alineado} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\\\ &\u003d \\ sum _ {\\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \\ end {alineado}

Con los subíndices simplemente diferenciando entre diferentes objetos (es decir, bola 1 y bola 2). El objeto de dos bolas tendría entonces:
\\ begin {alineado} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m}) ^ 2 + 5 \\; \\ text {kg} × (3 \\; \\ text {m}) ^ 2 \\\\ &\u003d 8 \\; \\ text {kg m} ^ 2 + 45 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\\\ &\u003d 53 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\ end {alineado} Momento de inercia y conservación del momento angular

El momento angular (el análogo rotacional para el momento lineal) se define como el producto de la inercia rotacional (es decir, el momento de inercia, I
) del objeto y su velocidad angular ω
), que se mide en grados /so rad /s.

Sin duda estarás familiarizado con la ley de conservación del momento lineal, y el momento angular también se conserva de la misma manera. La ecuación para el momento angular L
) es:
L \u003d Iω

Pensar en lo que esto significa en la práctica explica muchos fenómenos físicos, porque (en ausencia de otras fuerzas), cuanto más alto es un objeto inercia rotacional, cuanto más baja es su velocidad angular.

Considere un patinador de hielo girando a una velocidad angular constante con los brazos extendidos, y observe que sus brazos extendidos aumentan el radio R
sobre el cual su masa se distribuye, lo que lleva a un mayor momento de inercia que si sus brazos estuvieran cerca de su cuerpo.

Si L
_{1 se calcula con los brazos extendidos, y L
2, después de dibujar sus brazos debe tener el mismo valor (porque se conserva el momento angular), ¿qué sucede si disminuye su momento de inercia al dibujar en sus brazos? Su velocidad angular ω
aumenta para compensar.}

Los gatos realizan movimientos similares para ayudarlos a aterrizar de pie al caer.

Al estirar las patas y la cola, aumentan su momento de inercia y reducir la velocidad de su rotación, y por el contrario pueden dibujar en sus piernas para disminuir su momento de inercia y aumentar su velocidad de rotación. Utilizan estas dos estrategias, junto con otros aspectos de su "reflejo de corrección", para asegurarse de que sus pies caigan primero, y puede ver distintas fases de acurrucarse y estirarse en fotografías de lapso de tiempo de un aterrizaje de gato. Momento de inercia y energía cinética rotacional

Continuando con los paralelos entre el movimiento lineal y el movimiento rotacional, los objetos también tienen energía cinética rotacional de la misma manera que tienen energía cinética lineal.

Piensa en una bola que rueda el suelo, ambos girando sobre su eje central y avanzando de manera lineal: la energía cinética total de la pelota es la suma de su energía cinética lineal E
_{k y su energía cinética rotacional E
pudrición. Los paralelos entre estas dos energías se reflejan en las ecuaciones para ambas, recordando que el momento de inercia de un objeto es el análogo rotacional de la masa y su velocidad angular es el análogo rotacional de la velocidad lineal v
):
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 E_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} Iω ^ 2}

Puede ver claramente que ambas ecuaciones tienen exactamente la misma forma, con los análogos rotacionales apropiados sustituido por la ecuación de energía cinética rotacional.

Por supuesto, para calcular la energía cinética rotacional, deberá sustituir la expresión apropiada para el momento de inercia del objeto en el espacio para I
. Considerando la pelota y modelando el objeto como una esfera sólida, la ecuación es este caso:
\\ begin {alineado} E_ {rot} &\u003d \\ bigg (\\ frac {2} {5} MR ^ 2 \\ bigg ) \\ frac {1} {2} ω ^ 2 \\\\ &\u003d \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {alineado}

La energía cinética total ( E
_{tot) es la suma de esto y la energía cinética de la bola, por lo que puedes escribir:
\\ begin {alineado} E_ {tot} &\u003d E_k + E_ {rot} \\\\ &\u003d \\ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {alineado}}

Para una bola de 1 kg que se mueve a una velocidad lineal de 2 m /s, con un radio de 0.3 my con una velocidad angular de 2π rad /s, la energía total sería:
\\ begin {alineado} E_ {tot} &\u003d \\ frac {1} {2} 1 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m /s}) ^ 2 + \\ frac {1} {5} (1 \\; \\ text {kg} × (0.3 \\; \\ text {m}) ^ 2 × (2π \\; \\ text {rad /s}) ^ 2) \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {J} + 0.71 \\; \\ text {J} \\\\ &\u003d 2.71 \\; \\ text {J} \\ end {alineado}

Dependiendo de la situación, un objeto podría poseer solo energía cinética lineal (por ejemplo, una bola caída desde una altura sin ningún giro impartido) o solo cinética rotacional energía (una bola gira pero permanece en su lugar).

Recuerde que es la energía total
que se conserva. Si una pelota es pateada en una pared sin rotación inicial, y rebota a una velocidad más baja pero con un giro impartido, así como la energía perdida por el sonido y el calor cuando entra en contacto, parte de la energía cinética inicial ha sido transferido a la energía cinética rotacional, por lo que no puede moverse tan rápido como antes antes de recuperarse.