Solución: La ecuación de Schrödinger para este sistema es:$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \partial y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$
Podemos separar las variables y asumir que la función de onda se puede escribir como un producto de dos funciones, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$. Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger y dividiendo por $ XY$, obtenemos:
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \omega^2(x^2+y^2)=E$$
El LHS de esta ecuación depende sólo de x, mientras que el RHS depende sólo de y. Por lo tanto, ambos lados deben ser iguales a una constante, que podemos denotar como $E_n$,
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$
Estos son dos problemas de oscilador armónico unidimensional independientes y sus soluciones son bien conocidas. Los valores propios de energía para el movimiento en la dirección x son:
$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), n=0,1,2,...$$
De manera similar, los valores propios de energía para el movimiento en la dirección y vienen dados por la misma fórmula. Por lo tanto, los valores propios de energía total para el sistema bidimensional son:
$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\left(n_x+n_y+1\right), n_x,n_y=0,1,2,...$$
Las funciones propias correspondientes son productos de las funciones de onda del oscilador armónico unidimensional:
$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$
dónde
$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ izquierda(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$
y $H_n$ son los polinomios de Hermite.
