Para aquellos de nosotros que no tenemos inclinaciones matemáticas, la noción de números imaginarios Es un poco desconcertante. ¿Qué diablos significa eso? ¿Son estos números inventados? ¿Son invisibles como amigos imaginarios? ¡Envía ayuda con matemáticas!
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Un número imaginario (básicamente, un número que, cuando se eleva al cuadrado, da como resultado un número negativo) se estableció por primera vez en los años 1400 y 1500 como una forma de resolver ciertas ecuaciones enigmáticas.
Si bien inicialmente se pensó como una especie de truco de salón, en los siglos posteriores, los números imaginarios han llegado a ser vistos como una herramienta para conceptualizar el mundo de maneras complejas, y hoy son útiles en campos que van desde la ingeniería eléctrica hasta la mecánica cuántica. P>
"Inventamos los números imaginarios por algunas de las mismas razones por las que inventamos los números negativos", explica Cristopher Moore. Es físico en el Instituto Santa Fe, una institución de investigación independiente en Nuevo México, y coautor, junto con Stephan Mertens, del libro de 2011 "La naturaleza de la computación".
"Empiece con la aritmética ordinaria", continúa Moore. "¿Cuánto es dos menos siete? Si nunca has oído hablar de los números negativos, eso no tiene sentido. No hay respuesta. No puedes tener cinco manzanas negativas, ¿verdad? Pero piénsalo de esta manera. Podrías deberme una deuda". cinco manzanas, o cinco dólares, una vez que la gente empezó a hacer contabilidad y teneduría de libros, necesitábamos ese concepto".
De manera similar, hoy todos estamos familiarizados con la idea de que si firmamos cheques grandes para pagar cosas pero no tenemos suficiente dinero para cubrirlas, podríamos tener un saldo negativo en nuestras cuentas bancarias.
Otra forma de ver los números negativos (y esto será útil más adelante) es pensar en caminar por un vecindario de la ciudad, dice Moore.
Si haces un giro equivocado y en la dirección opuesta a nuestro destino (digamos, cinco cuadras al sur, cuando deberías haber ido al norte), podrías considerarlo como caminar cinco cuadras negativas hacia el norte.
"Al inventar números negativos, expandes tu universo matemático y te permite hablar sobre cosas que antes eran difíciles", dice Moore.
Los números imaginarios y los números complejos (es decir, los números que incluyen un componente imaginario) son otro ejemplo de este tipo de pensamiento creativo. Como lo explica Moore:"Si te pregunto cuál es la raíz cuadrada de nueve, es fácil, ¿verdad? La respuesta es tres, aunque también podría ser menos tres", ya que multiplicar dos negativos da como resultado un positivo.
¿Pero cuál es la raíz cuadrada de menos uno? ¿Existe algún número que, multiplicado por sí mismo, dé negativo uno? "En cierto nivel, no existe tal número", afirma Moore.
Pero a los matemáticos del Renacimiento se les ocurrió una forma inteligente de solucionar ese problema. "Antes de que inventáramos los números negativos, no existía un número que fuera dos menos siete", continúa Moore. "Entonces tal vez deberíamos inventar un número que sea raíz cuadrada de menos uno. Démosle un nombre. i ."
Una vez que se les ocurrió el concepto de número imaginario, los matemáticos descubrieron que podían hacer cosas realmente interesantes con él. Recuerda que multiplicar un número positivo por un número negativo es igual a un negativo, pero multiplicar dos negativos entre sí es igual a un positivo.
Pero, ¿qué pasa cuando empiezas a multiplicar i? multiplicado por siete y luego multiplicado por i ¿de nuevo? Porque i veces i es menos uno, la respuesta es menos siete. Pero si multiplicas siete veces i veces i veces i veces i , de repente obtienes siete positivos. "Se anulan mutuamente", señala Moore.
Ahora piensa en eso. Tomaste un número imaginario, lo conectaste a una ecuación varias veces y terminaste con un número real que usas comúnmente en el mundo real.
No fue hasta unos cientos de años después, a principios del siglo XIX, que los matemáticos descubrieron otra forma de entender los números imaginarios:pensar en ellos como puntos en un plano, explica Mark Levi. Es profesor y jefe del departamento de matemáticas de la Universidad Penn State y autor del libro de 2012 "Por qué los gatos aterrizan de pie:y 76 otras paradojas y acertijos físicos".
Cuando pensamos en los números como puntos en una línea y luego agregamos una segunda dimensión, "los puntos en ese plano son números imaginarios", dice.
Imagina una recta numérica. Cuando piensas en un número negativo, está a 180 grados de los números positivos en la recta. "Cuando multiplicas dos números negativos, sumas sus ángulos, 180 grados más 180 grados, y obtienes 360 grados. Por eso es positivo", explica Levi.
Pero no puedes poner la raíz cuadrada de menos uno en ningún lugar del eje X. Simplemente no funciona. Sin embargo, si creas un eje Y que sea perpendicular a la X, ahora tienes un lugar para colocarlo.
Y aunque los números imaginarios parecen un montón de tonterías matemáticas, en realidad son muy útiles para ciertos cálculos importantes en el mundo tecnológico moderno, como calcular el flujo de aire sobre el ala de un avión o calcular el consumo de energía. de la resistencia combinada con la oscilación en un sistema eléctrico.
Los números complejos con componentes imaginarios también son útiles en física teórica, explica Rolando Somma, físico que trabaja en algoritmos de computación cuántica en el Laboratorio Nacional de Los Álamos.
"Por su relación con funciones trigonométricas, son útiles para describir, por ejemplo, funciones periódicas", dice Somma vía correo electrónico. "Estos surgen como soluciones a las ecuaciones de ondas, por lo que utilizamos números complejos para describir varias ondas, como una onda electromagnética. Así, como en matemáticas, el cálculo complejo en física es una herramienta extremadamente útil para simplificar los cálculos."
Los números complejos también tienen un papel en la mecánica cuántica, una teoría que describe el comportamiento de la naturaleza a escala de átomos y partículas subatómicas.
"En la mecánica cuántica, i aparece explícitamente en la ecuación de Schrödinger", explica Somma. "Por lo tanto, los números complejos parecen tener un papel más fundamental en la mecánica cuántica en lugar de simplemente servir como una útil herramienta de cálculo."
"El estado de un sistema cuántico se describe por su función de onda", continúa. "Como solución a la ecuación de Schrodinger, esta función de onda es una superposición de determinados estados y los números que aparecen en la superposición son complejos. Los fenómenos de interferencia, por ejemplo en la física cuántica, se pueden describir fácilmente mediante números complejos."
Ahora eso es interesanteLos números imaginarios también se mencionan en el bestseller de Dan Brown de 2003 "El código Da Vinci" y en la novela de Thomas Pynchon de 2012 "Contra el día".
Este artículo fue actualizado junto con tecnología de inteligencia artificial, luego verificado y editado por un editor de HowStuffWorks.
