En una secuencia geométrica, cada término es igual al término anterior multiplicado por un multiplicador constante distinto de cero llamado factor común. Las secuencias geométricas pueden tener un número fijo de términos, o pueden ser infinitos. En cualquier caso, los términos de una secuencia geométrica pueden convertirse rápidamente en muy grandes, muy negativos o muy cercanos a cero. En comparación con las secuencias aritméticas, los términos cambian mucho más rápidamente, pero mientras que las secuencias aritméticas infinitas aumentan o disminuyen de manera constante, las secuencias geométricas pueden acercarse a cero, dependiendo del factor común.

TL; DR (demasiado largo; no Leer)

Una secuencia geométrica es una lista ordenada de números en la que cada término es el producto del término anterior y un multiplicador fijo distinto de cero llamado factor común. Cada término de una secuencia geométrica es la media geométrica de los términos que la preceden y la siguen. Secuencias geométricas infinitas con un factor común entre +1 y -1 se acercan al límite de cero a medida que se agregan términos, mientras que las secuencias con un factor común mayor que +1 o menor que -1 van al infinito más o menos.
Cómo las secuencias geométricas Trabajo

Una secuencia geométrica se define por su número inicial a, el factor común r y el número de términos S. La forma general correspondiente de una secuencia geométrica es:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

La fórmula general para el término n de una secuencia geométrica (es decir, cualquier término dentro de esa secuencia) es:
a < sub> n \u003d ar ^n-1.

La fórmula recursiva, que define un término con respecto al término anterior, es:
a _{n \u003d ra n- 1}

Un ejemplo de una secuencia geométrica con el número inicial 3, el factor común 2 y ocho términos es 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Cálculo del último término usando la forma general que aparece arriba, el término es:

a _{8 \u003d 3 × 2 ^{8-1 \u003d 3 × 2 7 \u003d 3 × 128 \u003d 384.}}

Usando la fórmula general para el término 4:

a _{4 \u003d 3 × 2 ^{4-1 \u003d 3 × 2 3 \u003d 24.}}

Si desea utilizar la fórmula recursiva para el término 5, luego el término 4 \u003d 24, y a _{5 es igual a:}

a _{5 \u003d 2 × 24 \u003d 48.
Propiedades de secuencia geométrica}

Las secuencias geométricas tienen propiedades especiales en lo que respecta a la media geométrica. La media geométrica de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Por ejemplo, la media geométrica de 5 y 20 es 10 porque el producto 5 × 20 \u003d 100 y la raíz cuadrada de 100 es 10.

En las secuencias geométricas, cada término es la media geométrica del término anterior. y el término después de eso. Por ejemplo, en la secuencia 3, 6, 12 ... arriba, 6 es la media geométrica de 3 y 12, 12 es la media geométrica de 6 y 24, y 24 es la media geométrica de 12 y 48.

Otras propiedades de las secuencias geométricas dependen del factor común. Si el factor común r es mayor que 1, las secuencias geométricas infinitas se acercarán al infinito positivo. Si r está entre 0 y 1, las secuencias se acercarán a cero. Si r está entre cero y -1, las secuencias se acercarán a cero, pero los términos alternarán entre valores positivos y negativos. Si r es menor que -1, los términos tenderán hacia el infinito positivo y negativo al alternar entre valores positivos y negativos.

Las secuencias geométricas y sus propiedades son especialmente útiles en modelos científicos y matemáticos de procesos del mundo real. . El uso de secuencias específicas puede ayudar con el estudio de poblaciones que crecen a una tasa fija durante períodos de tiempo determinados o inversiones que generan intereses. Las fórmulas generales y recursivas permiten predecir valores precisos en el futuro en función del punto de partida y el factor común.