Cuando comienzas con tres ecuaciones y tres incógnitas (variables), puedes pensar que tienes suficiente información para resolver todas las variables. Sin embargo, al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación, puede encontrar que el sistema no está suficientemente determinado para encontrar una única respuesta, y en su lugar es posible un número infinito de soluciones. Esto ocurre cuando la información en una de las ecuaciones del sistema es redundante para la información contenida en las otras ecuaciones.

Un ejemplo de 2x2

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Este sistema de ecuaciones es claramente redundante. Puede crear una ecuación a partir de la otra simplemente multiplicándola por una constante. En otras palabras, transmiten la misma información. A pesar de que existen dos ecuaciones para las dos incógnitas, x e y, la solución de este sistema no se puede reducir a un valor para x y un valor para y. (x, y) = (1,1) y (5 /3,0) ambos lo resuelven, al igual que muchas otras soluciones. Este es el tipo de "problema", esta insuficiencia de información, que conduce a un número infinito de soluciones en sistemas de ecuaciones más grandes también.

Un ejemplo de 3x3

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Los signos de subrayado se usan meramente para mantener el espaciado.] Por el método de eliminación, elimine x de la segunda fila restando la segunda fila de la primera, dando x + y + z = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Elimina x de la tercera fila restando la tercera fila de la primera. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Claramente las últimas dos ecuaciones son equivalentes. y es igual a 5, y la primera ecuación se puede simplificar eliminando y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 o x + z = 5 y = 5 Tenga en cuenta que el método de eliminación no producirá una buena forma triangular aquí, como lo hace cuando hay una única solución. En cambio, la última ecuación (si no más) se absorberá en las otras ecuaciones. El sistema ahora tiene tres incógnitas y solo dos ecuaciones. El sistema se llama "infradeterminado" porque no hay suficientes ecuaciones para determinar el valor de todas las variables. Es posible un número infinito de soluciones.

Cómo escribir la solución infinita

La solución infinita para el sistema anterior se puede escribir en términos de una variable. Una forma de escribirlo es (x, y, z) = (x, 5,5-x). Como x puede tomar un número infinito de valores, la solución puede tomar un número infinito de valores.