Un polinomio es una expresión que trata con poderes decrecientes de 'x', como en este ejemplo: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. Cuando un polinomio de grado dos o más alto se representa gráficamente, produce una curva. Esta curva puede cambiar de dirección, donde comienza como una curva ascendente, luego alcanza un punto alto donde cambia de dirección y se convierte en una curva descendente. Por el contrario, la curva puede disminuir a un punto bajo en cuyo punto invierte la dirección y se convierte en una curva ascendente. Si el grado es lo suficientemente alto, puede haber varios de estos puntos de inflexión. Puede haber tantos puntos de inflexión como uno menos que el grado -el tamaño del exponente más grande- del polinomio.
Encuentre la derivada del polinomio. Este es un polinomio más simple, un grado menos, que describe cómo cambia el polinomio original. La derivada es cero cuando el polinomio original está en un punto de inflexión, el punto en el que el gráfico no aumenta ni disminuye. Las raíces de la derivada son los lugares donde el polinomio original tiene puntos de inflexión. Debido a que la derivada tiene un grado uno menos que el polinomio original, habrá un punto de inflexión menos, a lo sumo, que el grado del polinomio original.
Forma la derivada de un término polinómico por término. El patrón es este: bX ^ n se convierte en bnX ^ (n - 1). Aplica el patrón a cada término excepto el término constante. Los derivados expresan cambio y las constantes no cambian, por lo que la derivada de una constante es cero. Por ejemplo, las derivadas de X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 son 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. El 15 desaparece porque la derivada de 15, o cualquier constante, es cero. La derivada 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 describe cómo X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 cambia.
Encuentre los puntos de inflexión de un ejemplo de polinomio X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Primero encuentre la derivada aplicando el término del patrón por término para obtener el polinomio derivado 3X ^ 2 -12X + 9. Establezca la derivada a cero y factor para encontrar las raíces. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X - 3) (X - 3) = 0. Esto significa que X = 1 y X = 3 son raíces de 3X ^ 2 -12X + 9. Esto significa que la gráfica de X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 cambiará de dirección cuando X = 1 y cuando X = 3.
Consejo
Ahorrará mucho tiempo si tiene en cuenta los términos comunes antes de comenzar la búsqueda de puntos de inflexión Por ejemplo. el polinomio 3X ^ 2 -12X + 9 tiene exactamente las mismas raíces que X ^ 2 - 4X + 3. El factorizar el 3 simplifica todo.
Advertencia
El grado de la derivada da el número máximo de raíces. En el caso de raíces múltiples o raíces complejas, la derivada establecida en cero puede tener menos raíces, lo que significa que el polinomio original puede no cambiar de dirección tantas veces como cabría esperar. Por ejemplo, la ecuación Y = (X - 1) ^ 3 no tiene ningún punto de inflexión.
