Comprender los conceptos
* movimiento armónico simple (shm): Un tipo de movimiento periódico donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento del equilibrio. Los ejemplos incluyen una masa en un resorte o un péndulo que se balancea a través de pequeños ángulos.
* Energía cinética (ke): La energía del movimiento, dada por Ke =(1/2) MV², donde M es masa y V es velocidad.
* Energía potencial (PE): La energía almacenada debido a la posición o configuración de un objeto. Para un resorte, PE =(1/2) kx², donde k es la constante de resorte y x es el desplazamiento del equilibrio.
Derivación
1. Equivadora de energías: Cuando las energías cinéticas y potenciales son iguales, tenemos:
(1/2) MV² =(1/2) KX²
2. Velocidad relacionada con el desplazamiento: En SHM, la velocidad (v) a un desplazamiento (x) está relacionado con la frecuencia angular (Ω) y la amplitud (a) por:
V =ω√ (a² - x²)
3. Sustituyendo por la velocidad: Sustituya esta expresión de V en la ecuación de energía:
(1/2) m (Ω√ (a² - x²)) ² =(1/2) kx²
4. Simplificando:
(1/2) MΩ² (a² - x²) =(1/2) kx²
Mω²a² - Mω²x² =kx²
5. Resolución para x: Reorganizar la ecuación para resolver para x:
x² (k + mω²) =mω²a²
x² =(mω²a²) / (k + mΩ²)
x =√ ((mω²a²) / (k + mΩ²))
6. usando ω² =k/m: Recuerde que para un sistema de masa de resorte en SHM, ω² =k/m. Sustituyendo esto:
x =√ ((mΩ²a²) / (k + k))
x =√ ((mω²a²) / (2k))
7. Resultado final: Dado que ω² =k/m, podemos simplificar aún más:
x =√ ((m (k / m) a²) / (2k))
x =a/√2
Conclusión
Cuando las energías cinéticas y potenciales de un objeto en SHM son iguales, el desplazamiento (x) es igual a la amplitud (a) dividida por la raíz cuadrada de 2. En otras palabras, el objeto está en aproximadamente el 70.7% de su desplazamiento máximo del equilibrio .
