El teorema trabajo-energía establece que el trabajo neto realizado sobre un objeto es igual al cambio en la energía cinética del objeto.
$$W_{net}=\Delta K$$
Dónde:
- \(W_{net}\) es el trabajo neto realizado sobre el objeto (en julios)
- \(\Delta K\) es el cambio en la energía cinética del objeto (en julios)
El teorema trabajo-energía se puede utilizar para resolver una variedad de problemas que involucran el movimiento de objetos. Por ejemplo, se puede utilizar para determinar la velocidad de un objeto después de que una fuerza haya actuado sobre él, o para encontrar la distancia que recorrerá un objeto antes de detenerse.
Demostración del teorema trabajo-energía
El teorema trabajo-energía se puede demostrar mediante los siguientes pasos:
1. Considere un objeto de masa \(m\) que se mueve con velocidad \(\overrightarrow{v_i}\). La energía cinética del objeto está dada por:
$$K_i=\frac{1}{2}mv_i^2$$
2. Se aplica una fuerza neta \(\overrightarrow{F}_{net}\) al objeto, lo que hace que se acelere y cambie su velocidad a \(\overrightarrow{v_f}\). El trabajo realizado por la fuerza neta sobre el objeto está dado por:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}$$
Donde \(\overrightarrow{d}\) es el desplazamiento del objeto.
3. El cambio en la energía cinética del objeto viene dado por:
$$\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$
4. Podemos sustituir la expresión del trabajo realizado por la fuerza neta en la expresión del cambio de energía cinética para obtener:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}=\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^ 2$$
5. Esta ecuación muestra que el trabajo neto realizado sobre el objeto es igual al cambio en la energía cinética del objeto, lo que demuestra el teorema trabajo-energía.
Ejemplos del teorema trabajo-energía
El teorema trabajo-energía se puede utilizar para resolver una variedad de problemas que involucran el movimiento de objetos. A continuación se muestran algunos ejemplos:
* Ejemplo 1: Un objeto de 10 kg está en reposo sobre una superficie horizontal. Se aplica una fuerza de 50 N al objeto durante 5 segundos. ¿Cuál es la velocidad del objeto después de 5 segundos?
Solución:
El trabajo neto realizado sobre el objeto es:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=(50\text{ N})(5\text{ m})=250\text{ J}$$
El cambio en la energía cinética del objeto es:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2- 0$$
Igualando el trabajo neto al cambio de energía cinética, obtenemos:
$$250\text{ J}=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2$$
Resolviendo para \(v_f\), obtenemos:
$$v_f=\sqrt{\frac{2(250\text{ J})}{10\text{ kg}}}=7.07\text{ m/s}$$
Por lo tanto, la rapidez del objeto después de 5 segundos es 7,07 m/s.
* Ejemplo 2: Un objeto de 20 kg se mueve con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál es el trabajo necesario para detener el objeto?
Solución:
El cambio en la energía cinética del objeto es:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(20\text{ kg})(0)^ 2-\frac{1}{2}(20\text{ kg})(10\text{ m/s})^2=-1000\text{ J}$$
El signo negativo indica que el trabajo requerido para detener el objeto es negativo, lo que significa que el trabajo debe ser realizado por el objeto.
Por tanto, el trabajo necesario para detener el objeto es 1000 J.
