Las palabras "incertidumbre" y "criterios múltiples" caracterizan la relevancia y complejidad de los problemas modernos relacionados con el control de objetos y procesos dinámicos. De hecho, cualquier modelo matemático que describa procesos controlados complejos inevitablemente incluye inexactitudes en la descripción de las perturbaciones y parámetros del objeto de control. Ignorar tal "incertidumbre" a menudo conduce a errores fatales en el funcionamiento de los sistemas de control reales.

Por otra parte, los requisitos para el sistema de control son a menudo contradictorios, lo que naturalmente conduce a la formulación de problemas multicriterio, cuales, si se resuelve con éxito, eliminar al menos aquellas soluciones que obviamente son "ineficaces". Es bien sabido que los problemas de control multicriterio son muy difíciles de resolver. Estas dificultades adquieren una escala mucho mayor cuando existe incertidumbre en el establecimiento de los parámetros de un sistema y perturbaciones; por lo tanto, cualquier avance en el desarrollo de la teoría y los métodos para la resolución de tales problemas es muy valioso y relevante tanto en los aspectos teóricos como aplicados.

Según Dmitry Balandin, investigador jefe del Laboratorio de Sistemas de Información y Diagnóstico Técnico, profesor del Departamento de Ecuaciones Diferenciales, Análisis matemático y numérico en el Instituto de Tecnologías de la Información de la UNN, Matemáticas y Mecánica, El principal resultado del trabajo realizado por su equipo de investigación consiste en desarrollar nuevos métodos para diseñar controladores de objetos dinámicos en forma de retroalimentación. Estos métodos se han desarrollado sobre la base de los logros modernos de la teoría de control, la teoría de las desigualdades de matrices lineales y la teoría de la optimización convexa.

"El objeto de nuestra investigación es un sistema de ecuaciones diferenciales o en diferencias ordinarias que describen la dinámica del objeto en estudio. Se supone que el objeto dinámico está sujeto a varios tipos de efectos externos. En particular, pueden incluir los efectos representados por funciones vectoriales integrables cuadradas arbitrarias del tiempo, los efectos de naturaleza aleatoria que se describen como ruido blanco gaussiano con una matriz de covarianza desconocida, efectos pulsados ​​con una intensidad de impacto desconocida, efectos armónicos con una frecuencia y amplitud desconocidas, "dice Balandin.

El objetivo del control es diseñar una retroalimentación (ya sea del estado medido o de la salida medida), que proporciona la extinción de las perturbaciones que surgen en el sistema y se generan por estos efectos. Los indicadores de calidad de los procesos transitorios, también conocido como niveles de atenuación de perturbaciones, se determinan para cada clase de efectos externos y son el máximo (para todos los efectos de una clase determinada) de la relación entre la norma de la salida controlada por el sistema y la norma del efecto externo. La tendencia natural a mejorar los procesos transitorios conduce a problemas de control óptimos que consisten en minimizar los niveles de extinción de perturbaciones.

Algunos ejemplos simples muestran que la ley de control que minimiza el nivel de extinción para una clase está lejos de ser la mejor para otra clase. Por lo tanto, por ejemplo, el control que proporciona la mejor extinción de una perturbación generada por efectos periódicos difiere significativamente de las leyes de control que aseguran la extinción de una perturbación generada por efectos de choque. Por lo tanto, surge el problema de encontrar un compromiso en la síntesis de las leyes de control para el objeto que está sujeto a efectos de varias clases. Este problema es esencialmente un problema de control de criterios múltiples.

En la teoría de la optimización, problemas multicriterio, incluso en una formulación de dimensión finita, tradicionalmente son muy difíciles de resolver. Esto es aún más cierto para los problemas de control óptimo de varios criterios, y el establecimiento de problemas de control de criterios múltiples con la consideración de factores inciertos complica aún más el problema. En décadas recientes, Se ha logrado un progreso significativo en la resolución de problemas de control óptimo con criterios que tienen interpretaciones físicas claras en forma de niveles de extinción para perturbaciones deterministas o estocásticas de diferentes clases. Sin embargo, el tratamiento de los problemas multicriterio con estos criterios todavía plantea considerables dificultades. Estas dificultades se deben a en primer lugar, a la complejidad de caracterizar el conjunto de Pareto y encontrar la función escalar multiobjetivo correspondiente que determinaría este conjunto.

También resulta que el problema es aún más complicado, dado que cada uno de los criterios se caracteriza por su función cuadrática de Lyapunov, y la optimización escalar de la función multiobjetivo en forma de convolución lineal estándar conduce en el caso general a un sistema bilineal de desigualdades difícilmente solucionables con respecto a las matrices de estas funciones de Lyapunov y la matriz de retroalimentación del regulador. Para construir una solución aproximada de tal sistema, como una regla, Se impone una condición adicional de igualdad de todas las funciones de Lyapunov entre sí, lo que introduce una cierta dosis de conservadurismo en el problema. Hasta ahora, la pregunta principal ha quedado sin respuesta:¿En qué medida las leyes de control resultantes difieren de las óptimas de Pareto?

En sus últimas publicaciones, Científicos de la Universidad Lobachevsky, en coautoría con sus colegas de la Universidad Estatal de Arquitectura e Ingeniería Civil de Nizhny Novgorod, respondió esta pregunta y proporcionó estimaciones numéricas de la desviación de las soluciones subóptimas en problemas multicriterio de los óptimos de Pareto, y también dar nuevas soluciones óptimas de Pareto exactas para algunos tipos de criterios.

Una aplicación importante considerada en los artículos recientes es el problema de controlar el movimiento de un rotor en cojinetes magnéticos activos (AMB). La idea de controlar el campo magnético para suspender los cuerpos ferromagnéticos se ha aplicado ampliamente en los dispositivos técnicos modernos. especialmente en sistemas de rotor. Los estudios teóricos y aplicados en este campo tienen una historia de varias décadas en Rusia y en el extranjero.

En Nizhny Novgorod, La investigación teórica y aplicada en el campo de los sistemas de rotor con cojinetes magnéticos activos se ha llevado a cabo durante muchos años en el Instituto de Investigación de Matemática Aplicada y Cibernética de la Universidad Lobachevsky y en el Afrikantov OKBM.

A pesar del gran número de publicaciones sobre cojinetes magnéticos activos, Las cuestiones relativas a la mejora del sistema de control automático de AMB siguen siendo el foco de atención de investigadores e ingenieros. Los requisitos técnicos para tales sistemas son extremadamente exigentes, el principal de ellos es la alta velocidad del rotor y el funcionamiento sin problemas sin supervisión del sistema "rotor en cojinetes magnéticos activos" durante bastante tiempo.

Para garantizar que se cumplan estos requisitos, es necesario mejorar significativamente la confiabilidad del sistema, lo cual solo es posible simplificando en gran medida los algoritmos de control en el AMB. Matemáticamente, este problema se formula como un problema de control óptimo multicriterio, donde los criterios reflejan varios, a veces requisitos contradictorios para el funcionamiento fiable del objeto de control.

"Como resultado de aplicar la teoría anterior, fue posible sintetizar nuevas leyes que gobiernan el movimiento del rotor en los cojinetes magnéticos activos para garantizar un funcionamiento confiable del sistema cuando los parámetros del rotor y las perturbaciones que actúan sobre el rotor no se conocen con precisión, "concluye el profesor Balandin.