Comprender los conceptos
* Período orbital: El tiempo que lleva un objeto completar una órbita completa alrededor de otro objeto.
* Fuerza gravitacional: La fuerza de atracción entre dos objetos con masa.
* Fuerza centripetal: La fuerza que mantiene un objeto en movimiento en una ruta circular.
Aplicando los conceptos
1. La ley de gravitación universal de Newton: La fuerza de gravedad entre la nave espacial y el planeta viene dada por:
`` `` ``
F =G * (M1 * M2) / R^2
`` `` ``
dónde:
* F es la fuerza gravitacional
* G es la constante gravitacional (6.674 × 10^-11 m^3 kg^-1 S^-2)
* M1 es la masa de la nave espacial
* M2 es la masa del planeta
* r es la distancia entre sus centros
2. Fuerza centripetal: La nave espacial está en órbita, lo que significa que se mueve en un círculo. La fuerza que lo mantiene en este camino es la fuerza centrípeta:
`` `` ``
F =(m1 * v^2) / r
`` `` ``
dónde:
* V es la velocidad orbital de la nave espacial
3. Fuerzas de equitación: Dado que la fuerza gravitacional es lo que proporciona la fuerza centrípeta para mantener la nave espacial en órbita, podemos equiparar las dos ecuaciones desde arriba:
`` `` ``
G * (m1 * m2) / r^2 =(m1 * v^2) / r
`` `` ``
4. Velocidad y período orbital: Podemos relacionar la velocidad orbital (v) con el período orbital (t) usando:
`` `` ``
V =2 * pi * r / t
`` `` ``
5. Resolviendo la masa del planeta:
* Sustituya la expresión de la velocidad orbital (v) en la ecuación del paso 3.
* Reorganizar la ecuación para resolver la masa del planeta (M2).
Cálculos
1. Convertir el período a segundos: 52 horas * 3600 segundos/hora =187200 segundos
2. Sustituya y resuelve:
* G * (m1 * m2) / r^2 =(m1 * (2 * pi * r / t)^2) / r
* Simplifique y resuelva para M2:
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m2 =(4 * pi^2 * r^3) / (g * t^2)
`` `` ``
3. Conecte los valores:
* M2 =(4 * Pi^2 * (5.2 * 10^7 m)^3) / (6.674 × 10^-11 M^3 kg^-1 S^-2 * (187200 S)^2)
* m2 ≈ 1.83 × 10^25 kg
resultado
La masa del planeta desconocido es de aproximadamente 1.83 × 10^25 kg.
