Digamos que tienes que ir de compras y tienes un presupuesto limitado. Desea comprar pasta y pan para un grupo grande, pero no puede gastar más de veinte dólares. En teoría, podría comprar solo pan y sin pasta, o mucho pan y solo una caja de pasta. ¿Cuántas combinaciones diferentes de cajas de pasta y hogazas de pan podrías comprar? ¿Y cómo puede sacar el máximo provecho de cada uno por su dinero?

Los problemas como estos se denominan desigualdades lineales: ecuaciones cuya gráfica es una línea, pero en lugar de usar el signo igual, usan símbolos de desigualdad como> o < .

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Para resolver una desigualdad lineal, debe encontrar todas las combinaciones de x
y y
que hacen que la desigualdad sea verdadera. Puede resolver desigualdades lineales usando álgebra o graficando.

Para resolver una desigualdad lineal (o cualquier ecuación), debe encontrar todas las combinaciones de x
y y
que hacen que la ecuación sea verdadera.

Puedes resolver desigualdades lineales algebraicamente o puedes representar las soluciones en una gráfica (¡o ambas!). Veamos juntos algunos problemas de ejemplo.
Resolver desigualdades lineales algebraicamente

Este proceso es casi
lo mismo que resolver una ecuación lineal, pero con una excepción clave. Observe el problema a continuación.

−4_x_ - 6> 12 - x

Primero, obtenga todos los x
-es en mismo lado del signo "mayor que". Agregue x
a ambos lados para cancelar la x
en el lado derecho y solo tenga x
a la izquierda.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Ahora agregue seis a ambos lados:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Hasta ahora esto ha sido exactamente como cualquier ecuación lineal. ¡Pero ahora las cosas están a punto de cambiar! Cuando divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe cambiar la dirección del símbolo de desigualdad.

Entonces, para −3_x_> 18, dividiremos ambos lados entre −3, y entonces vamos a voltear el signo> a un signo <.

x
<−6
Graficar desigualdades lineales

¿Qué tal graficar? Una vez más, el proceso es realmente similar a las ecuaciones lineales, pero hay una diferencia importante. Como tiene que indicar todas las combinaciones de x
y y
que hacen que una desigualdad sea verdadera, va a graficar la línea como de costumbre y luego vamos a sombrear en la sección del gráfico que le da el resto de las posibles soluciones.

Por ejemplo, ¿cómo graficaría la desigualdad y
<3_x_ + 6?

Primero, notarías que la desigualdad está en forma de pendiente-intersección, lo que significa que podemos usar y
-intercept y la pendiente para graficar rápidamente la línea.

El y
-intercept es 6, así que dibuja un punto en (0, 6), luego usa el hecho de que la pendiente es 3 para subir tres unidades y una unidad a la derecha, luego dibuja un punto. Su punto debe estar en (1, 9). Para hacer una línea ordenada y bonita, es bueno obtener tres puntos, así que dibuja un punto más comenzando en (1, 9) y subiendo tres, sobre uno nuevamente. Obtendrás un punto en (2, 12). Ahora dibuja una línea conectando los puntos.

¡Genial! Acabas de graficar la igualdad y
\u003d 3_x_ + 6, pero recuerda que la ecuación original es y
<3_x_ + 6. Usa este simple truco para sombrear la parte correcta del gráfico: cuando la desigualdad está en forma de pendiente-intersección, si tiene y
<, entonces sombree todo debajo de la línea. Si tiene y
>, sombree todo lo que esté por encima de la línea.

¡Pero vuelva a verificar para asegurarse! Cuando sombreas una sección completa de la gráfica, significa que cualquiera de esos puntos debe hacer que la ecuación sea verdadera. Tome un punto aleatorio que haya sombreado y conecte x
y y
en la desigualdad original. Si funciona, estás listo para irte. Si no es así, debe verificar sus gráficos y /o su álgebra.

Una última cosa: cuando tiene> o <, ¡la línea en el gráfico debe estar punteada! Cuando la desigualdad usa ≥ o ≤, la línea debe ser sólida. Esto muestra si los puntos en la línea están o no incluidos en la solución.
Resolver sistemas de desigualdades lineales

Resolver un sistema de desigualdades lineales es muy similar a resolver sistemas de ecuaciones. Graficar es la forma más fácil de resolver desigualdades lineales.

Para graficar un sistema de desigualdades lineales, grafica tu primera desigualdad como lo hiciste arriba y sombrea las áreas arriba o debajo de tu línea. Luego grafica la segunda desigualdad. Una vez más, va a sombrear todas las secciones del gráfico que hacen que la desigualdad sea verdadera. ¡La mayoría de las veces, habrá un área en el gráfico que ha sombreado dos veces! Esta es la solución al sistema de desigualdades, porque es la sección del gráfico donde ambas desigualdades son verdaderas.