Cuando se le presenta una matriz en una clase de matemáticas o física, a menudo se le pedirá que encuentre sus valores propios. Si no está seguro de lo que eso significa o cómo hacerlo, la tarea es desalentadora e implica muchas terminologías confusas que empeoran aún más las cosas. Sin embargo, el proceso de cálculo de valores propios no es demasiado desafiante si se siente cómodo resolviendo ecuaciones cuadráticas (o polinómicas), siempre que aprenda los conceptos básicos de matrices, valores propios y vectores propios.
Matrices, valores propios y vectores propios: lo que significan
Las matrices son matrices de números donde A representa el nombre de una matriz genérica, como esta:
(
1 3)
A
\u003d (4 2)
Los números en cada posición varían, e incluso puede haber expresiones algebraicas en su lugar. Esta es una matriz de 2 × 2, pero vienen en una variedad de tamaños y no siempre tienen el mismo número de filas y columnas.
Tratar con matrices es diferente de tratar con números ordinarios, y hay reglas para multiplicarlos, dividirlos, sumarlos y restarlos unos de otros. Los términos "valor propio" y "vector propio" se usan en álgebra matricial para referirse a dos cantidades características con respecto a la matriz. Este problema de valor propio le ayuda a comprender lo que significa el término:
A
∙ v \u003d λ ∙ v
A es una matriz general como antes, v es un vector y "λ is a characteristic value.", 3, [[Observe la ecuación y observe que cuando multiplica la matriz por el vector v, el efecto es reproducir el mismo vector multiplicado por el valor λ. Este es un comportamiento inusual y gana el vector v y la cantidad λ nombres especiales: el vector propio y el valor propio. Estos son valores característicos de la matriz porque la multiplicación de la matriz por el vector propio deja el vector sin cambios aparte de la multiplicación por un factor del valor propio.
Cómo calcular los valores propios
Si tiene el problema del valor propio para la matriz de alguna forma, encontrar el valor propio es fácil (porque el resultado será un vector igual al original excepto que multiplicado por un factor constante: el valor propio). La respuesta se encuentra resolviendo la ecuación característica de la matriz:
det (A - λ I
) \u003d 0
Donde I es la matriz de identidad, que está en blanco aparte de una serie de 1s corriendo diagonalmente por la matriz. "Det" se refiere al determinante de la matriz, que para una matriz general:
(ab)
A
\u003d (cd)
Es dada por
det A \u003d ad –bc
Entonces la ecuación característica significa:
(a - λ b)
det (A - λ < b> I
) \u003d (cd - λ) \u003d (a - λ) (d - λ) - bc \u003d 0
Como matriz de ejemplo, definamos A como:
(0 1)
A
\u003d (−2 −3)
Entonces eso significa:
det (A - λ I
) \u003d (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) \u003d 0
\u003d −λ (−3 - λ) + 2
\u003d λ < sup> 2 + 3 λ + 2 \u003d 0
Las soluciones para λ son los valores propios, y usted resuelve esto como cualquier ecuación cuadrática. Las soluciones son λ \u003d - 1 y λ \u003d - 2.
Consejos
En casos simples, los valores propios son más fáciles de encontrar. Por ejemplo, si los elementos de la matriz están todos separados por una fila en la diagonal inicial (desde la parte superior izquierda a la inferior derecha), los elementos diagonales resultan ser los valores propios. Sin embargo, el método anterior siempre funciona.
Encontrar vectores propios
Encontrar los vectores propios es un proceso similar. Usando la ecuación:
(A - λ) ∙ v \u003d 0
con cada uno de los valores propios que ha encontrado a su vez. Esto significa:
(a - λ b) (v 1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0) (A - λ) ∙ v \u003d (cd - λ) ∙ (v 2) \u003d cv 1 + (d - λ) v 2 \u003d (0) Puede resolver esto mediante considerando cada fila por turno. Solo necesita la proporción de v
1 a v
2, porque habrá infinitas soluciones potenciales para v
1 y v
2.
