La integración de funciones es una de las aplicaciones centrales del cálculo. A veces, esto es sencillo, como en:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

En un ejemplo comparativamente complicado de este tipo, puede usar un versión de la fórmula básica para integrar integrales indefinidas:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

donde A y C son constantes.

Por lo tanto, para este ejemplo,

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Integración de funciones básicas de raíz cuadrada}

En la superficie, la integración de una función de raíz cuadrada es incómoda. Por ejemplo, puede verse obstaculizado por:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Pero puede expresar una raíz cuadrada como un exponente, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

La integral por lo tanto se convierte en :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

al que puede aplicar la fórmula habitual desde arriba:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x
Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas}

A veces, puede tener más de un término bajo el signo radical, como en este ejemplo:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

Puede usar la sustitución en U para continuar. Aquí, establece u igual a la cantidad en el denominador:

u \u003d √ (x - 3)

Resuelva esto para x cuadrando ambos lados y restando:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Esto le permite obtener dx en términos de u tomando la derivada de x:

dx \u003d (2u) du

Sustituir nuevamente en la integral original da

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] du}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) du}

Ahora puede integrar esto usando la fórmula básica y expresando u en términos de x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}