Con el Super Bowl a la vuelta de la esquina, los atletas y los fanáticos del mundo tienen su enfoque fijo en el gran juego. Pero para _math_letes, el gran juego podría traer a la mente un pequeño problema relacionado con las posibles puntuaciones en un juego de fútbol. Con solo opciones limitadas para la cantidad de puntos que puede anotar, simplemente no se pueden alcanzar algunos totales, pero ¿cuál es el más alto? Si quieres saber qué es lo que une monedas, fútbol y nuggets de pollo de McDonald's, este es un problema para ti.
El problema matemático del Super Bowl

El problema tiene que ver con las puntuaciones posibles de los Carneros de Los Ángeles o el Nuevo Los England Patriots podrían lograr el domingo sin una conversión de seguridad o de dos puntos. En otras palabras, las formas permitidas de aumentar sus puntajes son goles de campo de 3 puntos y touchdowns de 7 puntos. Por lo tanto, sin seguridad, no puedes obtener una puntuación de 2 puntos en un juego con cualquier combinación de 3 y 7. De manera similar, tampoco puede obtener un puntaje de 4, ni tampoco puede obtener un puntaje de 5.

La pregunta es: ¿Cuál es el puntaje más alto que no se puede lograr con solo 3 puntos? ¿Metas de campo y touchdowns de 7 puntos?
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Por supuesto, touchdowns sin una conversión vale 6, pero como puede llegar a eso con dos objetivos de campo de todos modos, no importa para el problema. Además, ya que estamos tratando con las matemáticas aquí, no tienes que preocuparte por las tácticas del equipo específico o incluso por los límites en su capacidad para obtener puntos.

¡Intenta resolver esto tú mismo antes de continuar!
Encontrar una solución (la manera lenta)

Este problema tiene algunas soluciones matemáticas complejas (vea Recursos para obtener más detalles, pero el resultado principal se presentará a continuación), pero es un buen ejemplo de cómo esto no es t necesitaba
para encontrar la respuesta.

Todo lo que tienes que hacer para encontrar una solución de fuerza bruta es simplemente probar cada una de las puntuaciones a su vez. Por lo tanto, sabemos que no puede obtener un puntaje de 1 o 2, porque son menos de 3. Ya establecimos que 4 y 5 no son posibles, pero 6 sí, con dos objetivos de campo. Después de 7 (lo que es posible), ¿puedes puntuar 8? No Tres goles de campo dan 9, y un gol de campo y un touchdown convertido hacen 10. Pero no puedes obtener 11.

A partir de este punto, un poco de trabajo muestra que:
\\ begin {alineado} 3 × 4 &= 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\\\ 7 × 2 &= 14 \\\\ 3 × 5 &= 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &= 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \\ end {alineado}

Y, de hecho, puedes seguir así todo el tiempo que quieras. La respuesta parece ser 11. Pero, ¿lo es?
La solución algebraica

Los matemáticos denominan a estos problemas "problemas con las monedas de Frobenius". La forma original se relaciona con las monedas, como: Si solo tenía monedas valoradas 4 centavos y 11 centavos (no monedas reales, pero de nuevo, eso es un problema de matemáticas para ti), cuál es la mayor cantidad de dinero que no pudiste producir.

La solución, en términos de álgebra, es que con una una puntuación que vale p
puntos y una puntuación que vale q
puntos, la puntuación más alta que no puede obtener ( N
) viene dada por:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Entonces, al enchufar los valores del problema del Super Bowl, aparece:
\\ begin {alineado} N &= 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &= 21 \\; - \\; 10 \\\\ &= 11 \\ end {alineado}

Cuál es la respuesta que obtuvimos de manera lenta. Entonces, ¿qué pasaría si solo pudieras anotar touchdowns sin conversión (6 puntos) y touchdowns con conversiones de un punto (7 puntos)? Vea si puede usar la fórmula para elaborarla antes de seguir leyendo.

En este caso, la fórmula se convierte en:
\\ begin {alineado} N &= 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &= 42 \\; - \\; 13 \\\\ &= 29 \\ end {alineado} The Chicken McNugget Problem

Así que el juego ha terminado y quieres recompensar al equipo ganador con un viaje a McDonald's. Pero solo venden McNuggets en cajas de 9 o 20. Entonces, ¿cuál es el número más alto de pepitas que no puede comprar con estos números de caja (obsoletos)? Intente usar la fórmula para encontrar la respuesta antes de seguir leyendo.

Desde
N = pq \\; - \\; (p + q)

Y con p
= 9 y q
= 20:
\\ begin {alineado} N &= 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &= 180 \\; - \\; 29 \\\\ &= 151 \\ end {alineado}

Por lo tanto, siempre que comprara más de 151 nuggets (el equipo ganador probablemente tenga bastante hambre, después de todo), puede comprar cualquier número de nuggets que desee con alguna combinación de cajas.

Es posible que se esté preguntando por qué solo hemos cubierto las versiones de dos números de este problema. ¿Qué pasaría si incorporáramos dispositivos de seguridad o si McDonalds vendiera tres tamaños de cajas de pepitas? No hay ninguna fórmula clara
en este caso, y aunque la mayoría de las versiones pueden resolverse, algunos aspectos de la pregunta están completamente sin resolver.

Entonces, cuando estás viendo el juego o comiendo trozos de pollo del tamaño de un bocado puede decir que está tratando de resolver un problema abierto en matemáticas; ¡vale la pena intentar salir de las tareas!