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    ¿Qué es el Triángulo de Pascal?

    Si te gustan las rarezas matemáticas, te encantará el triángulo de Pascal. El nombre del matemático francés del siglo XVII Blaise Pascal, y conocido por los chinos durante muchos siglos antes de Pascal como el triángulo Yanghui, en realidad es más que una rareza. Es una disposición específica de números que es increíblemente útil en álgebra y teoría de la probabilidad. Algunas de sus características son más desconcertantes e interesantes que útiles. Ayudan a ilustrar la misteriosa armonía del mundo como se describe por los números y las matemáticas.

    TL; DR (demasiado largo; no leído)

    Pascal deriva el triángulo al expandir (x + y) ^ n para aumentar los valores de n y organizar los coeficientes de los términos en un patrón triangular. Tiene muchas propiedades interesantes y útiles.
    Construir el triángulo de Pascal

    La regla para construir el triángulo de Pascal no podría ser más fácil. Comience con el número uno en el ápice y forme la segunda fila debajo de él con un par de unos. Para construir la tercera y todas las filas posteriores, comience colocando una al principio y al final. Derive cada dígito entre este par de unidades sumando los dos dígitos inmediatamente por encima. La tercera fila es 1, 2, 1, la cuarta fila es 1, 3, 3, 1, la quinta fila es 1, 4, 6, 4, 1 y así sucesivamente. Si cada dígito ocupa un cuadro que es del mismo tamaño que todos los demás cuadros, la disposición forma un triángulo equilátero perfecto delimitado en dos lados por unos y con una base de longitud igual al número de la fila. Las filas son simétricas en el sentido de que leen igual hacia atrás y hacia adelante.
    Aplicando el Triángulo de Pascal en Álgebra

    Pascal descubrió el triángulo, que durante siglos habían conocido los filósofos persas y chinos, cuando estudiaba el expansión algebraica de la expresión (x + y) n. Cuando expande esta expresión a la enésima potencia, los coeficientes de los términos en la expansión corresponden a los números en la enésima fila del triángulo. Por ejemplo, (x + y) 0 \u003d 1; (x + y) 1 \u003d x + y; (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 y así sucesivamente. Por esta razón, los matemáticos a veces llaman a la disposición el triángulo de coeficientes binomiales. Para grandes números de n, obviamente es más fácil leer los coeficientes de expansión del triángulo que calcularlos.
    Triángulo de Pascal en la teoría de la probabilidad

    Suponga que arroja una moneda un cierto número de veces. ¿Cuántas combinaciones de cabezas y colas puedes obtener? Puedes averiguarlo mirando la fila del triángulo de Pascal que corresponde al número de veces que arrojas la moneda y sumando todos los números en esa fila. Por ejemplo, si lanzas la moneda 3 veces, hay 1 + 3 + 3 + 1 \u003d 8 posibilidades. La probabilidad de obtener el mismo resultado tres veces seguidas es, por lo tanto, 1/8.

    Del mismo modo, puede usar el triángulo de Pascal para encontrar cuántas maneras puede combinar objetos u opciones de un conjunto dado. Suponga que tiene 5 bolas y desea saber de cuántas maneras puede elegir dos de ellas. Simplemente vaya a la quinta fila y mire la segunda entrada para encontrar la respuesta, que es 5.
    Patrones interesantes

    El triángulo de Pascal contiene varios patrones interesantes. Estos son algunos de ellos:

  • La suma de los números en cada fila es el doble de la suma de los números en la fila de arriba.


  • Leyendo a ambos lados, la primera fila son todas, la segunda fila son los números de conteo, la tercera son los números triangulares, la cuarta los números tetraédricos y así sucesivamente.


  • Cada fila forma el exponente correspondiente de 11 después de realizar una modificación simple.


  • Puede derivar la serie de Fibonacci del patrón triangular.


  • Colorear todos los números impares y pares de diferentes colores produce un patrón visual conocido como el triángulo de Sierpinski.


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