1. Considere un punto en un objeto giratorio:
* Imagine un punto ubicado a una distancia * r * del eje de rotación.
2. Velocidad lineal:
* La velocidad lineal del punto (V) es la velocidad a la que su posición cambia a lo largo de una ruta circular.
*Sabemos que *V =Rω *, donde Ω es la velocidad angular.
3. Aceleración lineal:
* La aceleración lineal (a) es la tasa de cambio de la velocidad lineal.
* Hay dos componentes para la aceleración lineal de un punto en un objeto giratorio:
* Aceleración tangencial (AT): Este componente se dirige a lo largo de la tangente a la ruta circular y es responsable de cambiar la velocidad del punto.
* Aceleración radial (AR): Este componente está dirigido hacia el centro del círculo y es responsable de cambiar la dirección de la velocidad del punto.
4. Aceleración tangencial y aceleración angular:
* La aceleración tangencial está relacionada con la aceleración angular (α) por:
* * AT =Rα *
5. Aceleración radial:
* La aceleración radial viene dada por:
* * ar =v²/r *
6. Relacionando la aceleración lineal y angular:
* Dado que la aceleración lineal es la suma vectorial de la aceleración tangencial y radial, podemos escribir:
* * a =√ (At² + ar²) *
*Sustituyendo *AT =Rα *y *ar =v²/r *, obtenemos:
* * a =√ ((rα) ² + (v²/r) ²) *
* Además, podemos sustituir * V =Rω * en la ecuación:
* * a =√ ((rα) ² + (r²Ω²/r) ²) *
* Simplificando:
* * a =√ (r²α² + r²Ω⁴/r²) *
* * a =√ (r²α² + r²Ω⁴/r²) *
* * a =√ (r² (α² + Ω⁴/r²)) *
* * a =r√ (α² + Ω⁴/r²) *
Esta es la ecuación que relaciona la aceleración lineal (a) con la aceleración angular (α), la velocidad angular (ω) y el radio de la ruta circular (r).
Casos especiales:
* Velocidad angular constante (ω =constante): En este caso, la aceleración angular (α) es cero, y la aceleración lineal se reduce a la aceleración radial:*a =v²/r =rω²/r =rω² *.
* MOVIMIENTO ROTATIVO PURO (ω =0): Si el objeto gira alrededor de un eje fijo, la velocidad angular es cero, y la aceleración lineal es simplemente la aceleración tangencial:*a =rα *.
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