Infinitesimals son cantidades que son más pequeñas que cualquier número real positivo, pero no cero. Se usan en el cálculo para estudiar el comportamiento de las funciones en los puntos donde están cambiando rápidamente, como en los puntos de discontinuidad o en los puntos donde la función tiene una esquina afilada.
Así es como se usan los infinitesimales:
* Diferenciación: La derivada de una función en un punto se define como el límite de la relación del cambio en la función al cambio en la variable independiente, ya que el cambio en la variable independiente se acerca a cero. Los infinitesimales se pueden usar para representar este cambio "infinitamente pequeño".
* Integración: La integral de una función en un intervalo se define como el área bajo la curva de la función durante ese intervalo. Se pueden usar infinitesimales para dividir el intervalo en un número infinito de subintervalos, cada uno con un ancho infinitesimal, y luego resumir las áreas de los rectángulos formados por los valores de la función y los anchos de subintervalos.
Si bien el concepto de infinitesimales a menudo se usa para fines pedagógicos, existen algunos problemas técnicos con su uso en matemáticas rigurosas. Estos problemas llevaron al desarrollo de formulaciones más rigurosas de cálculo utilizando límites y otros conceptos.
En lugar de una "ley de infinitesimales", podemos decir que los infinitesimales son una herramienta utilizada en el cálculo para comprender el comportamiento de las funciones en situaciones en las que cambian rápidamente. El uso de infinitesimales se basa en la idea de que estas cantidades "infinitamente pequeñas" pueden manipularse y usarse para realizar cálculos.
Puntos clave:
* No hay una sola "Ley de Infinitesimales". Es más un concepto utilizado en el cálculo.
* Los infinitesimales representan cantidades más pequeñas que cualquier número real positivo pero no cero.
* Ayudan a comprender el comportamiento de la función en los puntos de un cambio rápido.
* Si bien son útiles para comprender, requieren un manejo cuidadoso debido a problemas técnicos en matemáticas rigurosas.
Si está interesado en aprender más sobre los infinitesimales y su uso en el cálculo, recomiendo leer sobre la historia del cálculo y el desarrollo de su rigurosa base.
