La ecuación de Schrodinger es la ecuación más fundamental en la mecánica cuántica, y aprender a usarla y lo que significa es esencial para cualquier físico en ciernes. La ecuación lleva el nombre de Erwin Schrödinger, quien ganó el Premio Nobel junto con Paul Dirac en 1933 por sus contribuciones a la física cuántica.

La ecuación de Schrodinger describe la función de onda de un sistema mecánico cuántico, que proporciona información probabilística sobre el ubicación de una partícula y otras cantidades observables, como su impulso. Lo más importante que se dará cuenta de la mecánica cuántica después de aprender acerca de la ecuación es que las leyes en el reino cuántico son muy diferentes de las de la mecánica clásica.
La función de onda

La función de onda es una de los conceptos más importantes en mecánica cuántica, porque cada partícula está representada por una función de onda. Normalmente se le da la letra griega psi ( Ψ
), y depende de la posición y el tiempo. Cuando tiene una expresión para la función de onda de una partícula, le dice todo lo que se puede saber sobre el sistema físico, y se pueden obtener diferentes valores para cantidades observables al aplicarle un operador.

El cuadrado del módulo de la función de onda le indica la probabilidad de encontrar la partícula en una posición x
en un momento dado t
. Este es solo el caso si la función está "normalizada", lo que significa que la suma del módulo cuadrado sobre todas las ubicaciones posibles debe ser igual a 1, es decir, que la partícula es cierta
para ubicarse en algún lugar
.

Tenga en cuenta que la función de onda solo proporciona información probabilística, por lo que no puede predecir el resultado de ninguna observación, aunque puede determinar el promedio de muchas mediciones.

Puede utilizar la función de onda para calcular el "valor esperado" para la posición de la partícula en el tiempo t
, siendo el valor esperado el valor promedio de x
usted obtendría si repitiera la medición muchas veces.

Nuevamente, esto no le dice nada sobre una medición en particular. De hecho, la función de onda es más una distribución de probabilidad para una sola partícula que cualquier cosa concreta y confiable. Al usar el operador apropiado, también puede obtener valores de expectativa para el momento, la energía y otras cantidades observables.
La ecuación de Schrodinger

La ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial lineal parcial que describe la evolución de un estado cuántico en una manera similar a las leyes de Newton (la segunda ley en particular) en mecánica clásica.

Sin embargo, la ecuación de Schrodinger es una ecuación de onda para la función de onda de la partícula en cuestión, y por lo tanto el uso de la ecuación para predecir el estado futuro de un sistema a veces se llama "mecánica de onda". La ecuación en sí deriva de la conservación de la energía y se basa en un operador llamado hamiltoniano.

La forma más simple de la ecuación de Schrodinger para escribir es:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Donde ℏ es la constante de Planck reducida (es decir, la constante dividida por 2π) y H
es el operador hamiltoniano , que corresponde a la suma del potencial energía de prueba y energía cinética (energía total) del sistema cuántico. Sin embargo, el hamiltoniano es una expresión bastante larga, por lo que la ecuación completa se puede escribir como:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Teniendo en cuenta que a veces (para problemas explícitamente tridimensionales), la primera derivada parcial se escribe como el operador laplaciano ∇ ^{2 . Esencialmente, el Hamiltoniano actúa sobre la función de onda para describir su evolución en el espacio y el tiempo. Pero en la versión de la ecuación independiente del tiempo (es decir, cuando el sistema no depende de t
), el hamiltoniano proporciona la energía del sistema.}

Resolver la ecuación de Schrodinger significa encontrar la función de onda mecánica cuántica que la satisface para una situación particular.
La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo

La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es la versión de la sección anterior, y describe la evolución de la onda función para una partícula en el tiempo y el espacio. Un caso simple a considerar es una partícula libre porque la energía potencial V
\u003d 0, y la solución toma la forma de una onda plana. Estas soluciones tienen la forma:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Donde k
\u003d 2π / λ,
λ
es la longitud de onda , y ω
\u003d E
/ℏ.

Para otras situaciones, la parte de energía potencial de la ecuación original describe condiciones de contorno para la parte espacial de la función de onda, y a menudo se separa en una función de evolución temporal y una ecuación independiente del tiempo.
La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo

Para situaciones estáticas o soluciones que forman ondas estacionarias (como el pozo potencial, " "partículas en una caja"), puede separar la función de onda en partes de tiempo y espacio:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

Cuando pasa por esto por completo, la parte de tiempo se puede cancelar, dejando una forma de la ecuación de Schrodinger que solo
depende de la posición de la partícula. La función de onda independiente del tiempo viene dada por:
H x (x) \u003d E Ψ (x)

Aquí E
es la energía del sistema mecánico cuántico, y H
es el operador hamiltoniano. Esta forma de la ecuación toma la forma exacta de una ecuación de valor propio, siendo la función de onda la función propia y la energía siendo el valor propio cuando se le aplica el operador hamiltoniano. Expandiendo el Hamiltoniano a una forma más explícita, se puede escribir en su totalidad como:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

La parte del tiempo de la ecuación está contenida en la función:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Soluciones para el tiempo independiente Ecuación de Schrodinger

La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo se presta bien a soluciones bastante sencillas porque reduce la forma completa de la ecuación. Un ejemplo perfecto de esto es el grupo de soluciones "partícula en una caja" donde se supone que la partícula se encuentra en un pozo cuadrado infinito en una dimensión, por lo que hay potencial cero (es decir, V
\u003d 0) en todo momento, y no hay posibilidad de que la partícula se encuentre fuera del pozo.

También hay un pozo cuadrado finito, donde el potencial en las "paredes" del pozo no es infinito e incluso si es más alta que la energía de la partícula, existe alguna posibilidad de encontrar la partícula fuera de ella debido al túnel cuántico. Para el pozo de potencial infinito, las soluciones toman la forma:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Donde L
es la longitud del pozo.

Un potencial de función delta es un concepto muy similar al pozo potencial, excepto que el ancho L
va a cero (es decir, ser infinitesimal alrededor de un solo punto) y la profundidad del pozo hasta el infinito, mientras que el producto de los dos ( U
_{0) permanece constante. En esta situación muy idealizada, solo hay un estado enlazado, dado por:
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}}

Con energía:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Solución de átomo de hidrógeno a la ecuación de Schrodinger

Finalmente, la solución de átomo de hidrógeno tiene aplicaciones obvias para la física del mundo real, pero en la práctica la situación de un electrón alrededor del núcleo de un átomo de hidrógeno puede verse como bastante similar a los problemas potenciales de los pozos. Sin embargo, la situación es tridimensional y se describe mejor en coordenadas esféricas r
, θ
, ϕ
. La solución en este caso viene dada por:
Ψ (x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Donde P Los
son los polinomios de Legendre, R
son soluciones radiales específicas, y N
es una constante que arregla utilizando el hecho de que la función de onda debería normalizarse. La ecuación produce niveles de energía dados por:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Donde Z
aquí está el número atómico (entonces Z
\u003d 1 para un átomo de hidrógeno), e
en este caso es la carga de un electrón (en lugar de la constante e
\u003d 2.7182818 ...), ϵ
_{0 es la permitividad del espacio libre, y μ
es la masa reducida, que se basa en las masas del protón y el electrón en un átomo de hidrógeno. Esta expresión es buena para cualquier átomo similar al hidrógeno, lo que significa cualquier situación (incluidos los iones) donde hay un electrón orbitando un núcleo central.}