(a) Intensidad eléctrica E fuera del globo (r> R)

Usando la ley de Gauss, podemos determinar la intensidad eléctrica E a una distancia r del centro del globo. Consideramos una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica con el globo. El campo eléctrico es en todas partes perpendicular a la superficie y su magnitud es constante en la superficie. Por tanto, el flujo eléctrico a través de la superficie viene dado por:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=E⋅4πr^2

La carga total encerrada por la superficie es q. Por tanto, según la ley de Gauss, tenemos:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

donde ε₀ es la permitividad del espacio libre. Combinando las ecuaciones anteriores, obtenemos:

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Ésta es la expresión de la intensidad eléctrica fuera del globo. Varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde el centro del globo.

(b) Intensidad eléctrica E dentro del globo (r

Dentro del globo, el campo eléctrico es cero. Esto se debe a que el campo eléctrico se debe a las cargas en la superficie del globo y no hay cargas dentro del globo.

(c) Potencial eléctrico V fuera del globo (r> R)

El potencial eléctrico V a una distancia r del centro del globo viene dado por:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Dado que la carga está distribuida uniformemente en la superficie del globo, podemos escribir dq =σ⋅dA, donde σ es la densidad de carga superficial y dA es un elemento de área en la superficie. La carga total del globo es q =σ⋅4πR², donde R es el radio del globo. Sustituyendo estos en la ecuación de V, obtenemos:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

Ésta es la expresión del potencial eléctrico fuera del globo. Varía inversamente con la distancia desde el centro del globo.

(d) Potencial eléctrico V dentro del globo (r

Dentro del globo, el potencial eléctrico es constante y viene dado por:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Ésta es la expresión del potencial eléctrico dentro del globo. Es constante y no depende de la distancia al centro del globo.