Si tuviera que tomar un cuadrado y dibujar dos líneas diagonales, cruzarían en el centro y formarían cuatro triángulos rectos. Las dos diagonales se cruzan a 90 grados. Podría intuitivamente adivinar que dos diagonales de un cubo, cada una corriendo desde una esquina del cubo a su esquina opuesta y cruzando en el centro, también cruzarían en ángulo recto. Estarías equivocado. Determinar el ángulo en el que se cruzan dos diagonales en un cubo es un poco más complicado de lo que podría parecer a primera vista, pero es una gran práctica para comprender los principios de geometría y trigonometría.
Defina la longitud de un borde como una unidad. Por definición, cada borde del cubo tiene una longitud idéntica a una unidad.
Usa el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de una diagonal que se ejecuta desde una esquina hasta la esquina opuesta en la misma cara. Llámalo una "diagonal corta" en aras de la claridad. Cada lado del triángulo rectángulo formado es una unidad, por lo que la diagonal debe ser igual a √2.
Usa el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de una diagonal que se extiende desde una esquina hasta la esquina opuesta de la cara opuesta . Llámalo una "diagonal larga". Tienes un triángulo rectángulo con un lado igual a 1 unidad y un lado igual a "diagonal corta", √2 unidades. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados, por lo que la hipotenusa debe ser √3. Cada diagonal que va de una esquina del cubo a la esquina opuesta tiene √3 unidades de longitud.
Dibuja un rectángulo para representar dos diagonales largas que se cruzan en el centro del cubo. Desea encontrar el ángulo de su intersección. Este rectángulo tendrá 1 unidad de altura y √2 unidades de ancho. Las diagonales largas se bisecan entre sí en el centro de este rectángulo y forman dos tipos diferentes de triángulo. Uno de estos triángulos tiene un lado igual a una unidad y los otros dos lados igual a √3 /2 (la mitad de la longitud de una diagonal larga). El otro también tiene dos lados iguales a √3 /2 pero su otro lado es igual a √2. Solo necesita analizar uno de los triángulos, así que tome el primero y resuelva el ángulo desconocido.
Use la fórmula trigonométrica c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C para resolver el ángulo desconocido de este triángulo. C = 1, y tanto a como b son iguales a √3 /2. Al tapar estos valores en la ecuación, determinará que el coseno de su ángulo desconocido es 1/3. Tomar el coseno inverso de 1/3 da un ángulo de 70.5 grados.
