1. Defina las coordenadas de Jacobi
Para un sistema de 4 átomos, necesitamos tres conjuntos de coordenadas de Jacobi:
* Primer conjunto:
* $ \ mathbf {r} _1 =\ mathbf {r} _2 - \ mathbf {r} _1 $ (vector conectando átomos 1 y 2)
* $ \ mathbf {r} _1 =\ frac {m_1 \ mathbf {r} _1 + m_2 \ mathbf {r} _2} {m_1 + m_2} $ (centro de masa de átomos 1 y 2)
* Segundo conjunto:
* $ \ mathbf {r} _2 =\ mathbf {r} _3 - \ mathbf {r} _1 $ (vector conectando el centro de masa de átomos 1 y 2 a átomo 3)
* $ \ mathbf {r} _2 =\ frac {(m_1 + m_2) \ mathbf {r} _1 + m_3 \ mathbf {r} _3} {m_1 + m_2 + m_3} $ (centro de masa de átomos 1, 2 y 3)
* Tercer conjunto:
* $ \ mathbf {r} _3 =\ mathbf {r} _4 - \ mathbf {r} _2 $ (vector conectando el centro de masa de átomos 1, 2 y 3 a átomo 4)
* $ \ mathbf {r} _3 =\ frac {(m_1 + m_2 + m_3) \ mathbf {r} _2 + m_4 \ mathbf {r} _4} {m_1 + m_2 + m_3 + m_4} $ (centro de masas de todas las 4 átomos)
2. Expresar la energía cinética en términos de coordenadas de jacobi
La energía cinética del sistema es:
`` `` ``
T =(1/2) m_1 v_1^2 + (1/2) m_2 v_2^2 + (1/2) m_3 v_3^2 + (1/2) m_4 v_4^2
`` `` ``
donde v representa la velocidad de cada átomo.
Ahora, necesitamos expresar las velocidades ( V ) En términos de las derivadas de tiempo de las coordenadas de Jacobi ( r y r ). Esto se puede hacer utilizando la regla de la diferenciación de la cadena.
Por ejemplo, para el átomo 1:
`` `` ``
v_1 =d/dt (r_1) =d/dt (r_2 - r_1) =v_2 - v_1
`` `` ``
Del mismo modo, puede expresar las otras velocidades en términos de las derivadas de las coordenadas de Jacobi.
3. Sustituir y simplificar
Sustituya las expresiones de las velocidades en términos de las coordenadas de Jacobi en la ecuación de energía cinética. Después de algo de álgebra y simplificación, obtendrá:
`` `` ``
T =(1/2) μ_1 (d/dt r_1)^2 + (1/2) μ_2 (d/dt r_2)^2 + (1/2) μ_3 (d/dt r_3)^2 + (1/2) m (d/dt r_3)^2)
`` `` ``
dónde:
* μ_1 =(m_1 * m_2) / (m_1 + m_2) es la masa reducida de átomos 1 y 2
* μ_2 =(m_1 + m_2) * m_3 / (m_1 + m_2 + m_3) es la masa reducida del centro de masa de átomos 1 y 2 y átomo 3
* μ_3 =(m_1 + m_2 + m_3) * m_4 / (m_1 + m_2 + m_3 + m_4) es la masa reducida del centro de masa de átomos 1, 2 y 3 y átomo 4
* m =m_1 + m_2 + m_3 + m_4 es la masa total del sistema
4. Expresar como el operador de energía cinética
El operador de energía cinética en la mecánica cuántica se obtiene reemplazando el momento clásico con su equivalente mecánico cuántico:
* P =-iħ∇
Por lo tanto, el operador de energía cinética en las coordenadas de Jacobi se convierte en:
`` `` ``
T̂ =- (ħ^2 / 2μ_1) ∇_r1^2 - (ħ^2 / 2μ_2) ∇_R2^2 - (ħ^2 / 2μ_3) ∇_R3^2 - (ħ^2 / 2M) ∇_R3^2
`` `` ``
donde ∇_r1, ∇_r2, ∇_r3 y ∇_r3 son los operadores de gradiente con respecto a las coordenadas de Jacobi.
Puntos clave:
* Las coordenadas de Jacobi separan el centro de movimiento de masa de los movimientos relativos de los átomos. Esto simplifica la descripción del sistema y reduce la complejidad de los cálculos.
* Las masas reducidas aparecen en el operador de energía cinética, lo que refleja el hecho de que los movimientos relativos de los átomos están influenciados por las masas de los átomos individuales.
* El último término en el operador representa la energía cinética del centro de masa, que generalmente se ignora en la espectroscopía molecular, ya que es una constante para una molécula dada.
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