Comprender los conceptos
* movimiento armónico simple (shm): Un tipo de movimiento periódico donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento del equilibrio. Los ejemplos incluyen una masa en un resorte o un péndulo que se balancea con pequeños ángulos.
* Energía cinética (ke): La energía del movimiento, dada por Ke =(1/2) MV², donde M es masa y V es velocidad.
* Energía potencial (PE): La energía almacenada debido a la posición o configuración de un objeto. En SHM, la energía potencial a menudo se debe a la compresión o extensión de un resorte, y está dada por PE =(1/2) KX², donde K es la constante de resorte y X es el desplazamiento del equilibrio.
Derivación
1. Energias iguales: Se nos da que Ke =PE.
2. Expresiones sustitutivas: Sustituya las ecuaciones de energía cinética y potencial:
(1/2) MV² =(1/2) KX²
3. Simplifique: Cancelar los (1/2) términos.
4. Relacione la velocidad y el desplazamiento: En SHM, la velocidad (V) está relacionada con el desplazamiento (x) y la frecuencia angular (ω) por la ecuación:
V =ω√ (a² - x²) donde a es la amplitud de la oscilación.
5. Sustituto de la velocidad: Sustituya la ecuación de velocidad en la ecuación de energía:
m (Ω√ (a² - x²)) ² =kx²
6. Resolver el desplazamiento (x): Simplifique y resuelva para x:
mω² (a² - x²) =kx²
mω²a² =(k + mΩ²) x²
x² =(mω²a²)/(k + mΩ²)
x =√ [(mω²a²)/(k + mΩ²)]
7. Relación entre ω y k/m: Recuerde que la frecuencia angular (ω) en SHM está relacionada con la constante de resorte (k) y la masa (m) por:
ω =√ (k/m)
8. Sustituto de ω: Sustituya la expresión de Ω en la ecuación de desplazamiento:
x =√ [(m (k/m) a²)/(k + (k/m) m)]
x =√ [(ka²)/(2k)]
x =√ (a²/2)
9. Resultado final: Por lo tanto, el desplazamiento (x) de un oscilador armónico simple cuando sus energías cinéticas y potenciales son iguales es:
x =a/√2
Interpretación
Este resultado muestra que cuando las energías cinéticas y potenciales son iguales en el movimiento armónico simple, el desplazamiento es igual a la amplitud de la oscilación dividida por la raíz cuadrada de 2. En otras palabras, el desplazamiento es aproximadamente el 70.7% de la amplitud.
