Todo estudiante de álgebra en niveles superiores necesita aprender a resolver ecuaciones cuadráticas. Estos son un tipo de ecuación polinómica que incluye una potencia de 2 pero ninguna superior, y tienen la forma general: ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. Puede resolverlos utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática, factorizando o completando el cuadrado.</sup>

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Primero busque una factorización para resolver la ecuación. Si no hay uno, pero el coeficiente b
es divisible por 2, complete el cuadrado. Si ninguno de los dos enfoques es fácil, use la fórmula de la ecuación cuadrática.
Uso de la factorización para resolver la ecuación

La factorización explota el hecho de que el lado derecho de la ecuación cuadrática estándar es igual a cero. Esto significa que si puede dividir la ecuación en dos términos entre paréntesis multiplicados entre sí, puede resolver las soluciones pensando en qué haría que cada paréntesis sea igual a cero. Para dar un ejemplo concreto:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Compare esto con la forma estándar:

ax

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

En el ejemplo, < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 y c
\u003d 9. El desafío de factorizar es encontrar dos números que se sumen para dar el número en el b
ubique y multiplique juntos para obtener el número en el lugar de c
.

Entonces, representando los números por d
y e
, busca números que satisfagan:

d
+ e
\u003d b

O, en este caso, con b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

Y

d
× e
\u003d c

O en este caso, con c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Céntrate en encontrar números que sean factores de c
, y luego súmalos para ver si son iguales a b
. Cuando tenga sus números, póngalos en el siguiente formato:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

En el ejemplo anterior, tanto d
como e
son 3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Si multiplica los corchetes, usted ' Terminaré con la expresión original nuevamente, y esta es una buena práctica para verificar su factorización. Puede ejecutar este proceso (multiplicando las primeras, internas, externas y luego las últimas partes de los corchetes; vea Recursos para obtener más detalles) para verlo al revés:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
× x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

La factorización funciona efectivamente a través de este proceso en reversa, pero puede ser un desafío encontrar la forma correcta de factorizar la ecuación cuadrática, y esto El método no es ideal para todas las ecuaciones cuadráticas por este motivo. A menudo tiene que adivinar una factorización y luego verificarla.

El problema ahora es hacer que cualquiera de las expresiones entre paréntesis salga a cero a través de su elección de valor para x
. Si cualquiera de los paréntesis es igual a cero, la ecuación completa es igual a cero, y ha encontrado una solución. Mire la última etapa [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0] y verá que la única vez que los corchetes salen a cero es si x
\u003d −3. Sin embargo, en la mayoría de los casos, las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones.

La factorización es aún más desafiante si una
no es igual a uno, pero enfocarse en casos simples es mejor al principio.
Completar el cuadrado para resolver la ecuación

Completar el cuadrado te ayuda a resolver ecuaciones cuadráticas que no se pueden factorizar fácilmente. Este método puede funcionar para cualquier ecuación cuadrática, pero algunas ecuaciones se adaptan mejor que otras. El enfoque implica convertir la expresión en un cuadrado perfecto y resolverlo. Un cuadrado perfecto genérico se expande así:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, obtenga la expresión en la forma en el lado derecho de lo anterior. Primero divida el número en la posición b
por 2, y luego cuadre el resultado. Entonces, para la ecuación:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

El coeficiente b
\u003d 8, entonces b
÷ 2 \u003d 4 y ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Agrega a ambos lados para obtener:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Tenga en cuenta que este formulario coincide con el cuadrado perfecto, con d
\u003d 4, entonces 2_d_ \u003d 8 y d
^{2 \u003d 16. Esto significa que:}

x

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Inserte esto en la ecuación anterior para obtener:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Ahora resuelve la ecuación para x
. Toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener:

x

+ 4 \u003d √16

Resta 4 de ambos lados para obtener:

x

\u003d √ (16) - 4

La raíz puede ser positiva o negativa, y tomar la raíz negativa da:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Encuentra la otra solución con la raíz positiva:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Por lo tanto, la única solución distinta de cero es −8. Verifique esto con la expresión original para confirmar.
Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación

La fórmula de la ecuación cuadrática parece más complicada que los otros métodos, pero es el método más confiable, y puede usarlo en cualquier ecuación cuadrática. La ecuación usa los símbolos de la ecuación cuadrática estándar:

ax

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

Y establece que:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Inserta los números apropiados en sus lugares y trabaja en la fórmula para resolver, recordando intentar restar y sumar el término raíz cuadrada y tenga en cuenta ambas respuestas. Para el siguiente ejemplo:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

Tienes a
\u003d 1, b
\u003d 6 y c
\u003d 5. Entonces la fórmula da:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36-20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4) ÷ 2

Tomando el signo positivo da:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

Y tomando el signo negativo da:

x
\u003d (−6-4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Cuáles son las dos soluciones para la ecuación.
Cómo determinar el mejor método resolver ecuaciones cuadráticas

Busque una factorización antes de intentar cualquier otra cosa. Si puede detectar uno, esta es la forma más rápida y fácil de resolver una ecuación cuadrática. Recuerde que está buscando dos números que sumen el coeficiente b
y se multipliquen para obtener el coeficiente c
. Para esta ecuación:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Puedes detectar que 2 + 3 \u003d 5 y 2 × 3 \u003d 6, entonces:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Y x
\u003d −2 o x
\u003d −3.

Si no puede ver una factorización, verifique si el coeficiente b
es divisible por 2 sin recurrir a fracciones. Si es así, completar el cuadrado es probablemente la forma más fácil de resolver la ecuación.

Si ninguno de los enfoques parece adecuado, use la fórmula. Este parece ser el enfoque más difícil, pero si está en un examen o de otra manera está presionado por el tiempo, puede hacer que el proceso sea mucho menos estresante y mucho más rápido.