La mayoría de la gente recuerda el teorema de Pitágoras de la geometría principiante: es un clásico. Es a
^{2 + b
2 \u003d c
2, donde a
, b
y c
son los lados de un triángulo rectángulo ( c
es la hipotenusa). ¡Bien, este teorema también se puede reescribir para trigonometría!}

TL; DR (demasiado largo; no leído)

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Las identidades pitagóricas son ecuaciones que escriben el teorema de Pitágoras en términos de las funciones trigonométricas.

Las principales identidades pitagóricas son:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
)}

1 + cot ^{2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
)}

El pitagórico las identidades son ejemplos de identidades trigonométricas: igualdades (ecuaciones) que utilizan funciones trigonométricas.
¿Por qué es importante?

Las identidades pitagóricas pueden ser muy útiles para simplificar complicadas declaraciones y ecuaciones trigonométricas. ¡Memorícelos ahora y podrá ahorrar mucho tiempo en el futuro!
Pruebe utilizando las definiciones de las funciones trigonométricas

Estas identidades son bastante simples de probar si piensa en las definiciones de trigonométricas. funciones Por ejemplo, demostremos que sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.}

Recuerde que la definición de seno es lado opuesto /hipotenusa, y ese coseno es lado adyacente /hipotenusa.

Entonces sin ^{2 \u003d opuesto 2 /hypotenuse 2}

Y cos ^{2 \u003d adyacente 2 /hypotenuse 2}

Puedes sumar estos dos fácilmente porque los denominadores son los mismos.

sin ^{2 + cos 2 \u003d (opuesto 2 + adyacente 2) /hypotenuse 2}

Ahora echa otro vistazo en el teorema de Pitágoras. Dice que a
<sup>2 + b
2 \u003d c
2. Tenga en cuenta que a
y b
representan los lados opuestos y adyacentes, y c
representa la hipotenusa.</sup>

Puede reorganizar el ecuación dividiendo ambos lados entre c
^2:

a
^{2 + b
2 \u003d c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 \u003d 1}

Dado que a
^{2 y b
2 son los lados opuestos y adyacentes y c
2 es la hipotenusa, tiene una declaración equivalente a la anterior, con (opuesto 2 + adyacente 2) /hypotenuse 2. Y gracias al trabajo con a
, b
, c
y el Teorema de Pitágoras, ¡ahora puede ver que esta declaración es igual a 1!}

Entonces (opuesto ^{2+ adyacente 2) /hipotenusa 2 \u003d 1,}

y por lo tanto: sin ^{2 + cos 2 \u003d 1.}

(Y es mejor escribirlo correctamente: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1).
Las identidades recíprocas}

Pasemos unos minutos mirando también las identidades recíprocas. Recuerde que el recíproco es uno dividido por ("sobre") su número, también conocido como el inverso.

Dado que la cosecante es el recíproco del seno, csc ( θ
) \u003d 1 /sin ( θ
).

También puede pensar en cosecante usando la definición de seno. Por ejemplo, seno \u003d lado opuesto /hipotenusa. La inversa de eso será la fracción invertida, que es hipotenusa /lado opuesto.

Del mismo modo, el recíproco del coseno es secante, por lo que se define como sec ( θ
) \u003d 1 /cos ( θ
), o hipotenusa /lado adyacente.

Y el recíproco de la tangente es cotangente, entonces cot ( θ
) \u003d 1 /tan ( θ
), o cot \u003d lado adyacente /lado opuesto.

Las pruebas para las identidades pitagóricas usando secante y cosecante son muy similares a las del seno y coseno. También puede derivar las ecuaciones usando la ecuación "padre", sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Divida ambos lados entre cos 2 ( θ
) para obtener la identidad 1 + tan 2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
). Divida ambos lados entre sin 2 ( θ
) para obtener la identidad 1 + cot 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
).}

¡Buena suerte y asegúrese de memorizar las tres identidades pitagóricas!