Las funciones matemáticas son herramientas poderosas para los negocios, la ingeniería y las ciencias porque pueden actuar como modelos en miniatura de los fenómenos del mundo real. Para comprender funciones y relaciones, necesita profundizar un poco en conceptos tales como conjuntos, pares ordenados y relaciones. Una función es un tipo especial de relación que tiene solo un valor y para un valor de x dado. Existen otros tipos de relaciones que parecen funciones pero que no cumplen con la definición estricta de uno.

TL; DR (Demasiado tiempo; No leyó)

Una relación es un conjunto de números organizados en pares Una función es un tipo especial de relación que tiene solo un valor y para un valor de x determinado.

Conjuntos, pares ordenados y relaciones

Para describir relaciones y funciones, es útil analizar conjuntos primero y pares ordenados Brevemente, un conjunto de números es una colección de ellos, generalmente contenida dentro de llaves, como {15,1, 2/3} o {0, 22}. Normalmente, define un conjunto con una regla, como todos los números pares entre 2 y 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.

Un conjunto puede tener cualquier cantidad de elementos, o ninguno en absoluto, es decir, el conjunto nulo {}. Un par ordenado es un grupo de dos números encerrados entre paréntesis, como (0,1) y (45, -2). Para mayor comodidad, puede llamar al primer valor en un par ordenado el valor x, y el segundo al valor y. Una relación organiza pares ordenados en un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} es una relación. Puede graficar los valores xey de una relación en un gráfico utilizando los ejes xey.

Relaciones y funciones

Una función es una relación en la que cualquier valor de x dado tiene solo uno valor y correspondiente. Se podría pensar que con pares ordenados, cada x tiene solo un valor y de todos modos. Sin embargo, en el ejemplo de una relación dada anteriormente, nótese que los valores x 1 y 2 tienen cada uno dos valores y correspondientes, 0 y 5, y 10 y 15, respectivamente. Esta relación no es una función. La regla da a la función relación una definición que de otro modo no existiría, en términos de x valores. Podrías preguntar, cuando x es 1, ¿cuál es el valor y? Para la relación anterior, la pregunta no tiene una respuesta definitiva; podría ser 0, 5 o ambos.

Ahora examine un ejemplo de una relación que es una verdadera función: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. Los valores x no se repiten en ninguna parte. Como otro ejemplo, mira {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Algunos valores y se repiten, pero esto no infringe la regla. Todavía puede decir que cuando el valor de x es 0, y es definitivamente 5.

Funciones de gráficos: Prueba de línea vertical

Puede determinar si una relación es una función al trazar los números en un gráfico y aplicando la prueba de línea vertical. Si ninguna línea vertical que pasa por el gráfico la intersecta en más de un punto, la relación es una función.

Funciones como Ecuaciones

Escribir un conjunto de pares ordenados como una función lo convierte en un ejemplo fácil, pero rápidamente se vuelve tedioso cuando tiene más de unos pocos números. Para abordar este problema, los matemáticos escriben funciones en términos de ecuaciones, como y = x ^ 2 - 2x + 3. Usando esta ecuación compacta, puedes generar tantos pares ordenados como quieras: conecta diferentes valores para x, hazlo matemática, y salen sus valores y.

Usos de funciones en el mundo real

Muchas funciones sirven como modelos matemáticos, lo que permite a las personas captar detalles de fenómenos que de otro modo permanecerían misteriosos. Para tomar un ejemplo simple, la ecuación de distancia para un objeto que cae es d = .5 x g x t ^ 2, donde t es el tiempo en segundos, y g es la aceleración debida a la gravedad. Conecte 9.8 para gravedad terrestre en metros por segundo al cuadrado, y puede encontrar la distancia que un objeto cayó en cualquier valor de tiempo. Tenga en cuenta que, a pesar de su utilidad, los modelos tienen limitaciones. La ecuación de ejemplo funciona bien para arrojar una bola de acero pero no una pluma porque el aire reduce la velocidad de la pluma.