Una distribución binomial describe una variable X si 1) hay un número fijo n observaciones de la variable; 2) todas las observaciones son independientes entre sí; 3) la probabilidad de éxito p es la misma para cada observación; y 4) cada observación representa uno de exactamente dos resultados posibles (de ahí la palabra "binomial" - pensar "binario"). Esta última calificación distingue las distribuciones binomiales de las distribuciones de Poisson, que varían de forma continua en lugar de discreta.

Tal distribución se puede escribir B (n, p).

Calculando la probabilidad de una observación dada

Supongamos que un valor k se encuentra en algún lugar a lo largo del gráfico de la distribución binomial, que es simétrica con respecto a la media np. Para calcular la probabilidad de que una observación tenga este valor, esta ecuación debe ser resuelta:

P (X = k) = (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

donde (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!

El "!" significa una función factorial, por ejemplo, 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.

Ejemplo

Supongamos que un jugador de baloncesto toma 24 tiros libres y tiene una tasa de éxito establecida del 75 por ciento (p = 0,75). ¿Cuáles son las probabilidades de que alcance exactamente 20 de sus 24 disparos?

Primero calcule (n: k) de la siguiente manera:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626

p ^{k = (0,75) 20 = 0,00317}

(1-p) ^{(nk) = (0.25) 4 = 0.00390}

Así P (20) = (10.626) (0.00317) (0.00390) = 0.1314.

Por lo tanto, este jugador tiene un 13.1 por ciento de posibilidades de hacer exactamente 20 de 24 tiros libres, en línea con lo que la intuición podría sugerir acerca de un jugador que normalmente golpearía 18 de 24 tiros libres (debido a su índice de éxito establecido del 75 por ciento).