Comprender la configuración
* Ball: Una masa 'm' colgando verticalmente.
* cadena: Una cadena de luz que conecta la pelota con la polea, asumida sin masa e inextensible.
* Polea: Un disco sólido uniforme con un momento de inercia (i) y un radio (R).
* Eje sin fricción: La polea gira libremente sin pérdidas por fricción.
conceptos clave
* Conservación de energía: La energía mecánica total del sistema (bola y polea) permanece constante. Esto significa que la suma de energía potencial, la energía cinética de la bola y la energía cinética rotacional de la polea es constante.
* movimiento rotacional: La polea experimenta aceleración angular debido al par producido por la tensión en la cuerda.
* Torque: La tensión en la cuerda crea un par en la polea, lo que hace que gire.
* Momento de inercia: Una medida de cuán resistente es un objeto a los cambios en su movimiento de rotación. Para un disco sólido, i =(1/2) Mr².
Derivando las ecuaciones
1. Fuerzas que actúan sobre la pelota:
* Gravedad:Mg (hacia abajo)
* Tensión en la cadena:t (hacia arriba)
2. Fuerzas que actúan sobre la polea:
* Tensión en la cadena:t (fuerza tangencial)
3. Ecuaciones de movimiento para la pelota:
* La segunda ley de Newton:MA =Mg - T
* Aceleración de la pelota:a =(g - t/m)
4. Ecuaciones de movimiento para la polea:
* Torque:τ =TR
* Aceleración angular:α =τ/i =(tr)/(1/2mr²) =(2t/MR)
* Relación entre la aceleración lineal (a) y la aceleración angular (α):a =rα
5. Conservación de energía:
* Energía potencial inicial de la pelota:MGH (donde 'H' es la altura inicial)
* Energía potencial final de la pelota:0 (cuando la pelota llega al fondo)
* Energía cinética de la pelota:(1/2) MV²
* Energía cinética rotacional de la polea:(1/2) iω² =(1/4) Mr²ω²
6. Relacione las velocidades lineales y angulares:
* V =RΩ
Resolver el problema
1. Resolver tensión (t):
* Sustituya la expresión de 'A' de la ecuación de movimiento de la pelota en la relación entre la aceleración lineal y angular (A =Rα).
* Encontrarás que t =(2/3) mg
2. Encuentre la aceleración (a):
* Sustituya el valor de t en la ecuación de movimiento de la pelota (mA =mg - t).
* Obtendrás un =(1/3) g
3. Calcule la aceleración angular (α):
* Use la ecuación α =(2T/MR) y sustituya el valor de T.
4. Determine la velocidad (v) de la pelota:
* Use la conservación de la ecuación de energía y resuelva 'V'.
Puntos clave
* La tensión en la cuerda es menor que el peso de la pelota debido a la inercia rotacional de la polea.
* La aceleración de la pelota es menor que 'G' porque la rotación de la polea la ralentiza.
* La energía perdida por la pelota a medida que cae se transfiere a la energía cinética rotacional de la polea.
Avíseme si tiene una pregunta específica o desea calcular alguno de estos valores. Puedo proporcionar cálculos más detallados si es necesario.
