Comprender los conceptos
* movimiento armónico simple: Un tipo de movimiento periódico donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento del equilibrio. Los ejemplos incluyen una masa en un resorte o un péndulo que se balancea con un pequeño ángulo.
* amplitud (a): El desplazamiento máximo del objeto desde su posición de equilibrio.
* Velocity (V): La tasa de cambio de desplazamiento.
* Conservación de energía: En SHM, la energía mecánica total (potencial + cinética) permanece constante.
Derivación
1. Conservación de energía: En cualquier momento de SHM, la energía total (E) es la suma de energía potencial (PE) y energía cinética (KE):
E =PE + KE
2. Energía potencial: En el desplazamiento máximo (amplitud, a), la velocidad es cero, y toda la energía es potencial:
Pe (max) =1/2 * k * a^2 (donde k es la constante de resorte)
3. Energía cinética: A la mitad de la amplitud (a/2), la energía potencial es:
Pe (a/2) =1/2 * k * (a/2)^2 =1/8 * k * a^2
4. Uso de la conservación de energía: Dado que la energía total es constante:
E =PE (max) =PE (A/2) + Ke (A/2)
1/2 * k * a^2 =1/8 * k * a^2 + 1/2 * m * v^2 (donde m es la masa)
5. Resolución de velocidad: Simplifique la ecuación y resuelva para V:
* 3/8 * k * a^2 =1/2 * m * v^2
* v^2 =(3/4) * (k/m) * a^2
* v =√ [(3/4) * (k/m) * a^2]
Notas importantes:
* frecuencia angular (ω): Puede expresar la velocidad en términos de frecuencia angular (ω =√ (k/m)):
* V =√ [(3/4) * ω^2 * a^2] =(√3/2) * Ω * A
* fase: La fórmula anterior supone que la masa está en su desplazamiento máximo cuando el tiempo t =0. Si la masa está en una fase diferente, deberá considerar la naturaleza sinusoidal del movimiento.
Ejemplo
Digamos que una masa de 0.5 kg está unida a un resorte con una constante de resorte de 20 n/m. La amplitud de la oscilación es 0.1 m. Para encontrar la velocidad a mitad de amplitud:
1. Calcule la frecuencia angular: ω =√ (k/m) =√ (20 n/m/0.5 kg) ≈ 6.32 rad/s
2. Calcule la velocidad: V =(√3/2) * ω * a =(√3/2) * 6.32 rad/s * 0.1 m ≈ 0.55 m/s
Por lo tanto, la velocidad de la masa a la mitad de la amplitud es de aproximadamente 0,55 m/s.
