La energía potencial eléctrica inicial del sistema es:

$$U_i=k\frac{(2q)(q)}{r_i}$$

Donde k es la constante electrostática y \(r_i=0.225m\). La energía cinética final del sistema es:

$$K_f=\frac{1}{2}mv_p^2+\frac{1}{2}(4m)v_\alpha^2$$

Donde \(v_p\) y \(v_\alpha\) son las velocidades finales del protón y la partícula alfa, respectivamente.

Por conservación de energía tenemos:

$$U_i=K_f$$

$$k\frac{(2q)(q)}{r_i}=\frac{1}{2}mv_p^2+2(4m)v_\alpha^2$$

$$k\frac{(2q)(q)}{0.225m}=\frac{1}{2}mv_p^2+8mv_\alpha^2$$

$$9\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\frac{2(1.6\times10^{-19}C)(1.6\times10^{-19}C)}{0.225m}=\frac{1}{2}(1,67\times10^{-19}kg)v_p^2+8(1,67\times10^{-27}kg)v_\alpha^2$$

$$7,94\times10^{-18}J=1,67\times10^{-27}kg(v_p^2+8v_\alpha^2)$$

$$4.74\times10^{9}m^2s^{-2}=v_p^2+8v_\alpha^2$$

Debido a la conservación del momento, tenemos:

$$0=(2q)v_p+(4q)v_\alfa$$

$$-2v_p=4v_\alfa$$

Sustituyendo en la ecuación anterior:

$$4.74\times10^{9}m^2s^{-2}=v_p^2+8\left(-\frac{1}{2}v_p\right)^2$$

$$4.74\times10^{9}=v_p^2+v_p^2$$

$$4.74\times10^{9}=2v_p^2$$

$$v_p=\sqrt{\frac{4.74\times10^9}{2}}=\sqrt{2.37\times10^9}$$

$$\en caja{v_p=4.86\times10^4 m/s}$$