A veces es necesario encontrar un vector distinto de cero que, cuando se multiplica por una matriz cuadrada, nos devuelve un múltiplo del vector. Este vector distinto de cero se denomina "vector propio". Los vectores propios no solo son de interés para los matemáticos, sino también para otros en profesiones como la física y la ingeniería. Para calcularlos, deberá comprender el álgebra matricial y los determinantes.

Aprenda y comprenda la definición de un "vector propio". Se encuentra para un n x n matriz cuadrada A y también un valor propio escalar llamado "lambda". Lambda está representada por la letra griega, pero aquí la abreviaremos a L. Si hay un vector distinto de cero x donde Ax \u003d Lx, este vector x se llama un "valor propio de A."


Encuentre los valores propios de la matriz usando la ecuación característica det (A - LI) \u003d 0. "Det" representa el determinante, e "I" es la matriz de identidad.


Calcule el vector propio para cada valor propio encontrando un espacio propio E (L), que es el espacio nulo de la ecuación característica. Los vectores distintos de cero de E (L) son los vectores propios de A. Estos se encuentran conectando los vectores propios de nuevo a la matriz característica y encontrando una base para A - LI \u003d 0.


Practique los Pasos 3 y 4 mediante estudiando la matriz a la izquierda. Se muestra una matriz cuadrada de 2 x 2.


Calcule los valores propios con el uso de la ecuación característica. Det (A - LI) es (3 - L) (3 - L) --1 \u003d L ^ 2 - 6L + 8 \u003d 0, que es el polinomio característico. Resolver esto algebraicamente nos da L1 \u003d 4 y L2 \u003d 2, que son los valores propios de nuestra matriz.


Encuentre el vector propio para L \u003d 4 calculando el espacio nulo. Haga esto colocando L1 \u003d 4 en la matriz característica y encontrando la base para A - 4I \u003d 0. Resolviendo esto, encontramos x - y \u003d 0, o x \u003d y. Esto tiene solo una solución independiente ya que son iguales, como x \u003d y \u003d 1. Por lo tanto, v1 \u003d (1,1) es un vector propio que abarca el espacio propio de L1 \u003d 4.


Repita el Paso 6 para encuentre el vector propio para L2 \u003d 2. Encontramos x + y \u003d 0, o x \u003d --y. Esto también tiene una solución independiente, digamos x \u003d --1 e y \u003d 1. Por lo tanto, v2 \u003d (--1,1) es un vector propio que abarca el espacio propio de L2 \u003d 2.