Comprender los conceptos
* shm: El movimiento armónico simple es un tipo de movimiento periódico donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio. Los ejemplos incluyen una masa en un resorte o un péndulo.
* Energía cinética (ke): La energía del movimiento, dada por Ke =(1/2) MV², donde M es la masa y V es la velocidad.
* Energía potencial (PE): La energía almacenada debido a la posición o configuración de un objeto. Para un resorte, PE =(1/2) kx², donde k es la constante de resorte y x es el desplazamiento del equilibrio.
Derivación
1. Establezca ke y pe igual: Queremos encontrar el desplazamiento (x) cuando ke =pe.
(1/2) MV² =(1/2) KX²
2. Expresar velocidad en términos de desplazamiento: En SHM, la velocidad (v) está relacionada con el desplazamiento (x) y la frecuencia angular (Ω) por:
V =± Ω√ (a² - x²)
donde a es la amplitud de la oscilación.
3. Velocidad sustituta: Sustituya la expresión de velocidad en la ecuación KE =PE:
(1/2) m (Ω²) (a² - x²) =(1/2) kx²
4. Simplifique y resuelva para x:
mω² (a² - x²) =kx²
Mω²a² - Mω²x² =kx²
mω²a² =(k + mΩ²) x²
x² =(mω²a²) / (k + mΩ²)
5. Recuerda la relación: La frecuencia angular (Ω) está relacionada con la constante de resorte (k) y la masa (m) por Ω² =k/m. Sustituya esto en la ecuación:
x² =(mω²a²) / (k + mΩ²)
x² =(Mω²a²) / (K + K)
x² =(mω²a²) / (2k)
x² =(1/2) A²
6. Encuentra desplazamiento: Tome la raíz cuadrada de ambos lados:
x =± A/√2
Conclusión
El desplazamiento en SHM cuando las energías cinéticas y potenciales son iguales es x =± A/√2 , donde A es la amplitud de la oscilación. Esto significa que el desplazamiento es aproximadamente el 70.7% de la amplitud.
