Muchos estudiantes tienen dificultades para encontrar la distancia entre dos puntos en una línea recta, es más difícil para ellos cuando tienen que encontrar la distancia entre dos puntos a lo largo de una curva. Este artículo, por cierto de un problema de ejemplo, mostrará cómo encontrar esta distancia.

Para encontrar la distancia entre dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) en una línea recta en el xy-plane, usamos la fórmula Distance, que es ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Ahora demostraremos cómo funciona esta fórmula mediante un problema de ejemplo. Haga clic en la imagen para ver cómo se hace esto.

Ahora vamos a encontrar la distancia entre dos puntos A y B en una curva definida por una función f (x) en un intervalo cerrado [a, b] . Para encontrar esta distancia debemos usar la fórmula s = La integral, entre el límite inferior, a, y el límite superior, b, del integrando √ (1 + [f '(x)] ^ 2) con respecto a la variable de integración, dx. Haga clic en la imagen para verla mejor.

La función que usaremos como ejemplo de problema durante el Intervalo cerrado, [1,3], es ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + √ [(x + 4) ^ 2-1]]]. la derivada de esta función, es ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], ahora cuadraremos ambos lados de la función de la derivada. Eso es [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, que nos da [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Ahora sustituimos esta expresión en la fórmula de longitud de arco /Integral de, s. luego Integrate.

Haz clic en la imagen para una mejor comprensión.

Luego, por sustitución, tenemos lo siguiente: s = La integral, entre el límite inferior, 1, y el límite superior , 3, del integrando √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = el integrando √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). que es igual a √ ((x + 4) ^ 2). Al realizar la antiderivada en este Integrando, y por el Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos ... {[(x ^ 2) /2] + 4x} en el cual primero reemplazamos el límite superior, 3, y de este resultado, Restemos el resultado de la sustitución del límite inferior, 1. Eso es {[(3 ^ 2) /2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} que es igual a {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} que es igual a (24/2) = 12. Entonces, la longitud de arco /distancia de la función /curva sobre el intervalo [1,3], es de 12 unidades.